Изменение стоимости денег во времени

Производственная деятельность каждого предприятия связана с движением денежных средств. Движение денежных потоков фирмы (процессы получения и предоставления кредитов, разновременность затрат и результатов и др.) оказывает существенное влияние на результативность фирмы и потому всегда должно учитываться в обосновании управленческих решений. Процесс движения денежных средств может быть представлен как процесс кредитования (внутреннего или внешнего). Если денежный поток выходит во внешнюю среду, то фирма становится кредитором или дебитором. Если движение денежных средств происходит внутри фирмы (финансирование инвестиционных проектов за счет собственных средств), то фирма является одновременно и кредитором и дебитором.

Влияние изменений стоимости денег во времени рассмотрим далее на примере внешних денежных потоков (рис. 1.7).

Сумма кредита (К₀), ставка (плата за единицу денежных средств) кредитования (годовая - r, за весь период кредита - R) и определенный в кредитном договоре способ начисления платы за кредит – основные характеристики (условия) кредитования. Полная стоимость кредита (К_T=К₀+I) зависит от первоначального капитала, срока кредитования и ставки кредитования (стоимости кредита). Ставка кредитования за период кредита R = I/ К₀, за год r = R/T, где T – срок кредита (годы). Ставка кредитования, как правило, указывается в процентах, поэтому плата за кредит получила название процентной ставки, а выплаченная сумма - процентов за кредит.

Отметим, что эта схема соответствует и операциям кредитования и операциям вложения денег в банк. В первом случае кредитором является банк, а заемщиком – физическое или юридическое лицо, во втором – наоборот: банк – заемщик, которого кредитуют физические и юридические лица, поместившие свои средства на счет банка. В этом случае капитал вкладчиков нарастает (процесс нарастания капитала). Поэтому будем далее различать эти процессы. Соответственно ставку, установленную банком по вложенному капиталу независимо от способа помещения средств, далее будем называть ставкой по депозитам (r_ДЕП). Ставку, установленную банком по предоставленному кредиту независимо от других его характеристик, принято называть ставкой кредитования (r_КР).

Инструментарий расчета ставки будет приведен в последующих главах. Здесь выделим его принципы.

Ставка зависит от двух групп факторов. Первая – факторы макроэкономической ситуации на рынке (темпы экономического роста, инфляция и др.) и денежная политика правительства и банка страны (политика денежного регулирования). Влияние этой группы факторов отражается в безрисковой ставке – гарантированном росте капитала при его использовании путем приобретения государственных ценных бумаг. Допустимо определение безрисковой ставки по ставке рефинансирования Банка России. Вторая группа факторов определяется:

- по кредитным операциям: затратами финансовой структуры (банка) на осуществление кредитной операции, политикой привлечения клиентов, риском заемщика (фирмы) и риском проекта, на финансирование которого предназначены денежные средства;

- по депозитным операциям: затратами финансовой структуры (банка) на осуществление депозитной операции, политикой привлечения клиентов и др.

Возможны два способа начисления процентов – простые проценты и сложные проценты.

1. Простые проценты. Основной принцип – проценты начисляются только на основной долг (сумму кредита). Соответственно за период Т лет проценты составят I=К₀*r*T=К₀*R. Полная стоимость кредита составит К_Т=К₀*(1+ r*T). Следовательно, сумму К₀*r_КР*T заемщик должен выплатить банку за предоставленный кредит, а сумму К₀*r_ДЕП*T банк должен выплатить (зачислить на счет) вкладчику. Поскольку банк как коммерческая организация должен окупить свои издержки, учитывая при этом риск невозврата кредита, и сформировать прибыль, процентная ставка по кредиту всегда выше процентной ставки по депозиту.

Рассмотрим далее динамику изменения стоимости денег в сумме К_0. В момент t (время учитывается в годах от даты помещения денег на счет) при условии непрерывного начисления процентов сумма (текущее значение счета) составит:

К_t= К₀*(1+ r*t). (1.12)

Для операции вклада значение К_t – наращенная сумма средств на вкладе. В этом случае r – ставка процента по вкладу. Для операции кредитования К_t – наращенная сумма долга (r – ставка процента по кредиту). Значение (1+r*t) называется простым (для простого наращения) коэффициентом наращения капитала за период t лет. Этот коэффициент учитывает рост стоимости денег во времени.

Часто требуется определить обратную задачу: какую сумму нужно инвестировать в момент t=0, чтобы в момент t иметь капитал К_t? Это значение (оно называется дисконтированной стоимостью капитала К_t) для ставки r определится из предыдущей ставки:

К₀= К_t /(1+ r*t). (1.13)

Значение 1/(1+r*t) называется коэффициентом дисконтирования (дисконтным множителем) капитала для простого начисления процентов за период t лет.

Основная сфера применения простых процентов – денежный рынок, в т.ч. потребительские кредиты и вексельное обращение. Способ учета стоимости денег во времени в потребительском кредитовании и вексельном обращении несколько отличен от вышеизложенного.

Потребительские кредиты – это краткосрочные ссуды, выдаваемые банками физическим лицам на приобретение предметов широкого потребления. Известны различные способы погашения этих кредитов. Распространен метод равномерной выплаты процентов: проценты начисляются сразу на весь капитал и за полный срок. Платежи по кредиту осуществляются помесячно равными суммами. Ежемесячный платеж в этом случае равен сумме основного долга и начисленных процентов, деленной на срок кредита (количество месяцев).

Пример 4. Гражданин получил потребительский кредит на приобретение мебели в сумме 300 тыс. руб. на год под 24% годовых (2% за месяц). Сумма начисленных процентов – 300*0, 24=72 тыс. руб. Общая сумма долга – 372 тыс. руб. Ежемесячный платеж по кредиту 372/12=31 тыс. руб., в т.ч. проценты 6 тыс. руб., основной долг – 25 тыс. руб.

Отметим, что действительная ставка процента по потребительскому кредиту существенно выше обозначенной в договоре суммы. Продолжим пример.

После первого платежа по кредиту сумма основного долга будет равна300 - 25=275 тыс. руб. 2% годовых от этой суммы составит 5, 5 тыс. руб. Заемщик при такой системе переплачивает во втором платеже 6, 0-5, 5=0, 5 тыс. руб. На следующий месяц действительная сумма процентных платежей должна уже составить (275-25)*0, 02=5, 0 тыс. руб. Переплата – 6, 0-5, 0= 1, 0 тыс. руб. и т.д. Предоставляем читателю возможность определить действительную ставку процента, которую должен быть выплачен по этому договору.

Учет стоимости денег во времени в вексельном обращении зависит от вида векселя. Вексель может быть процентным (начисляется процент за кредит, предоставленный в виде векселя) и беспроцентным (процент за вексельный кредит равен нулю). Во временном измерении вексельное обращение характеризуется датой выписки векселя, датой погашения и датой учета (предъявления). Процентный вексель в сумме S и процентной ставке r погашается в соответствии с датой погашения по сумме P= S*(1+ r*T/360)[15]. T дней – промежуток времени в днях между датой погашения и датой выписки. Если дата предъявления предшествует дате погашения, то досрочное погашение рассматривается как процесс кредитования предъявителя векселя. Ставка процента по векселю называется учетной ставкой. Если годовая учетная ставка равна d, то за t дней она составит d_t =d*t/360. Пусть сумма долга по векселю равна S, срок ссуды до погашения (промежуток времени в днях между датой погашения и датой предъявления) – t дней. Выплаченная по векселю сумма составит:

P_t=S*(1-d_t). (1.14)

Разность S-P_t=D_t есть дисконт (доходы) банка за кредит в сумме S, выданный на t дней.

Пример 5. Пусть процентный вексель на 4 млн. руб. выписан 10 января 2009 года с датой погашения 10 октября 2009 года. Процентная ставка 24%, учетная ставка 20%. Вексель учтен (погашен) банком 10 мая 2009 года. Количество дней между выпиской и сроком погашения векселя равно 283-10=273 дня (дата погашения – 283 день 2009 года, дата выписки векселя – 10 день 2009 года). Следовательно, сумма, которая должна быть выплачена в момент погашения (10 октября), равна 4*(1+0, 24*273/360)=4, 728 млн. руб. Но поскольку вексель учтен досрочно, постольку выплаченная сумма составит 4, 728*{1-(283-130)*0, 2/360}=4, 326. Разность 4, 728 - 4, 326=0, 402 млн. руб. – дисконт банка.

2. Сложные проценты. Стоимость денег меняется, поскольку проценты начисляются не только на основной капитал, но и на начисленные ранее проценты. Поэтому естественно, что наращенная сумма зависит от того, как часто (с какой периодичностью) начисляются проценты. Примем вначале, что проценты начисляются один раз в год. Тогда в конце первого года на счете будет сумма, равная К₁= К₀*(1+ r). На эту сумму за второй год будут начислены проценты, вследствие чего она составит К₂= К₁*(1+ r) = К₀*(1+ r)². На третий год сумма составит К₃= К₀*(1+ r)³ и т.д. Наращенная сумма года t составит

К_t= К₀*(1+ r)^t . (1.15)

В (1.15) t- время в годах.

Как правило, банки начисляют проценты несколько раз в год: по полугодиям, по кварталам, ежемесячно. Возможно также непрерывное (ежедневное) начисление. Обозначим m – количество начислений процентов за год. Процентная ставка одного начисления равна r/m. Тогда

К_t= К₀*(1+ r/ m)^t*m. (1.16)

В (1.16) t также измеряется в годах.

Пример 6. Вклад в сумме 100 тыс. руб. был положен в банк 10.01.2008 под 8% годовых при ежемесячном начислении процентов на 6 месяцев. Счет был продлен еще на 6 месяцев, но ставка процента составила 7% до 30.11. 2008 и 9% с 1.12.2008. Счет был закрыт 25.2. 2009. Определить:

-сумму на счете на момент его закрытия;

-среднюю годовую ставку за период действия счета.

За первые полгода сумма на счете составит 100*(1+0, 08/12)^{0, 5*12}=104, 07 тыс. руб. Обратим внимание на то, что если бы проценты начислялись ежегодно, то сумма составила бы 103, 9 тыс. руб. (100*1, 08^{0, 5}). При начислении простых процентов и при начислении сложных процентов по полугодиям она составила бы 104 тыс. руб.

С 11 июля по 30.11.2008 года (143 дня или 143/366=0, 391 года) на сумму 104, 7 тыс. руб. начислялись ежемесячно 7% годовых. 30.11.2008 года сумма на счете составила 104, 7*(1+0, 07/12)^{0, 391*12}=107, 6 тыс. руб. Еще через 66 дней (в момент закрытия) счет стал равен 107, 6*(1+0, 09/12)^12*66/365=109, 4 тыс. руб. Общий рост суммы на вкладе 1, 094 за период накопления (413 дней). Средняя годовая ставка за это период найдется из уравнения 100*(1+r)^413/365=109, 4. r=8, 3%.

Чем чаще начисляются проценты (чем больше m), тем при равных ставках больше коэффициент наращения. Банки объявляют годовые проценты по вкладам и кредитам. Поэтому действительный коэффициент наращения, зависящий от количества начислений процентов в год и определяющий доходность банковских вкладов, неизвестен. Чтобы сделать оценку доходности более прозрачной, можно рассчитать эффективную ставку процента. Эффективная ставка процента (r_эф) при m> 1 эквивалентна годовой ставке при m=1:

r_эф=(1+r/m)^m – 1. (1.17)

Пример 7. В какой банк выгоднее поместить вклад? Банк «А» принимает вклады под11% годовых и начисляет проценты 1 раз в год. Банк «Б» установил ставку 10, 6% годовых при начислении процентов по полугодиям. Банк «В» - 10, 5% и начисляет проценты ежемесячно. Банки имеют одинаковый уровень надежности.

Примем Т=1 и обоснуем выбор банка, используя коэффициент наращения, определяемый по формуле k=(1+ r/ m)^t*m. Для банка «А» k=(1+0, 11/1)^1*1=1, 11. Для банка «Б» k=(1+0, 106/2)^1*2=1, 1088. Для банка «В» k=(1+0, 105/12)^1*12=1, 1102. Наиболее выгодны (по критерию доходности) условия банка «В».

Обоснуем выбор банка по эффективной ставке. Для банка «А» r_эф=0, 11. Для банка «Б» r_эф=(1+0, 106/2)²=0, 1088. Для банка «В» r_эф=(1+0, 105/12)¹²=0, 1102. Вывод о выгодности условий банка «В» совпадает со сделанным ранее.

Обратим внимание на то, что для юридических лиц эффективная ставка процента оказывается ниже рассчитанной по (1.17), поскольку банки устанавливают для заемщиков дополнительные условия, снижающие уровень доходности (комиссионные на обслуживание счета, страхование и др.).

3. Учет инфляции. Все приведенные выше соотношения и примеры выполнены для номинальных значений капитала. Реально наряду с нарастанием капитала на счете (или в любом бизнесе) происходит снижение его реальной стоимости (покупной способности) в связи с инфляцией. Если ставка банковского процента (уровень доходности бизнеса) выше темпов инфляции, то реальное значение капитала растет. Для условий России более типично противоположное соотношение: инфляция «съедает» больше, чем начисляет банк (рис 1.8)[16].

Поэтому важно определить движение реальной стоимости денег. Этим целям служит реальная ставка процента, определяющая размер начисленных доходов с учетом изменения покупательной способности денег. Реальная ставка процента (r_р) равна

r_р= (r – i)/(1+i). (1.18)

где i - годовая инфляция.

Реальная стоимость денег определяется по зависимостям (1.12) и (1.15), в которых ставка дисконтирования соответствует реальной ставке (1.18).

Определить реальную стоимость денег можно и по номинальной ставке, используя, формулу (1.19) для простых процентов и формулу (1.20) – для сложных:

К_t= К₀*[1+(r- i)*t], (1.19)

К_t= К₀*[(1+ r)/(1+i)]^t. (1.20)

Величина коэффициента дисконтирования ([1+(r-i)*t] – для простых процентов и [(1+r)/(1+i)]^t – для сложных) характеризует степень изменения полезности денег при переносе момента платежа на позднее время (на срок t).

Пример 8. В 2008 году средняя эффективная ставка по вкладам банка составила 9%, по кредитам банка – 20%, инфляция по стране – 16%. Определить реальные значения коэффициента наращения капитала по вкладам в банк и коэффициента дисконтирования процента по кредитам за год (сложные проценты).

Реальная ставка наращения капитала по вкладам в 2008 году составляла (0, 09-0, 16)/(1+0, 16)=-0, 06, по кредитам – (0, 2-0, 16)/(1+0, 16)=0, 034. Следовательно, за год реальная стоимость денег на вкладе уменьшилась на 6%, а реальный долг по кредиту возрос на 3, 4% при номинальных ставках соответственно 9% и 20%.

4. Аннуитеты. В обосновании финансовых решений часто встречаются ситуации, в которых требуется определять наращенные и (или) дисконтированные значения совокупности денежных потоков (CF), характеризующихся двумя особенностями:

· неизменностью (или равномерным ростом) элементов денежных потоков;

· равным промежутком времени между двумя смежными элементами денежного потока.

Эти денежные потоки называются аннуитетами. Основные характеристики аннуитета:

-количество элементов денежного потока (M), в т.ч. в течение года m. Количество членов денежного потока может быть конечным и определенным, конечным, но неопределенным, бесконечным;

-темп прироста денежного потока (CF_m-CF_(m-1))=q. Это значение обычно принимается постоянным (q=const);

-период следования – время между двумя смежными элементами денежного потока (∆ Т= const);

-денежные потоки могут соответствовать началу периода (аннуитет пренумерандо) и концу периода (аннуитет постнумерандо).

С позиций техники расчетов все аннуитеты разделим на три группы:

1) выплата купонов по облигациям (постоянная годовая или полугодовая сумма дохода по облигации в течение срока до погашения). В этом случае денежные потоки постоянны, их количество ограничено и определено. К этому же типу аннуитетов относятся равномерные платежи по кредиту, выплата накопительной пенсии по договору на конечную дату, арендная плата, перечисления в погасительный и пенсионный фонд и т.п.;

2) выплата накопительной пенсии по договору на дожитие (выплата накопленных средств равными суммами до конца жизни). Здесь количество членов аннуитета (время жизни после выхода на пенсию) ограничено, но неопределенно;

3) выплата купонов по бессрочным облигациям (облигациям, срок погашения которых неопределен), бессрочная рента. Здесь количество членов аннуитета бесконечно. К этому же типу аннуитетов относятся выплаты дивидендов по акциям стабильно работающих компаний, реализующих политику стабильных дивидендов.

В обосновании управленческих решений, связанных с такими денежными потоками, техника аннуитетов позволяет существенно упростить расчеты их наращенной и дисконтированной сумм. При использовании традиционного подхода (приведенных выше соотношений) применительно к наиболее распространенным аннуитетам постнумерандо первого типа (постоянный, определенный аннуитет, денежные потоки соответствуют концу периода) наращенная сумма будет равна

S_н = ∑ _j=1 CF_j*(1+r/m)^-j, (1.21)

где j- порядковый номер члена аннуитета.

При больших М расчеты по(1.21) трудоемки. Они значительно упрощаются при использовании следующей формулы:

S_н = CF_j*[(1+r/m)^M-1]/ r/m. (1.22)

Аналогично дисконтированная сумма

S_д = CF_i*[1-(1+r/m)^M]/ r/m. (1.23)

Для аннуитетов пренумерандо правые части формул (1.22) и (1.23) умножаются на (1+r/m).

Пример 9. Предприятие планирует сформировать фонд для погашения облигационного займа в сумме 1600 млн. руб. путем ежегодного в течение 10 лет перечисления на счет в ВТБ 25 млн. руб. ежеквартально. Вклады вносятся в конце каждого квартала. Банк выплачивает по вкладам 8% годовых (номинальная годовая ставка). Определить:

-какую сумму составит погасительный фонд предприятия через 10 лет;

-какую сумму нужно перечислять, чтобы создать в течение 10 лет требуемый фонд;

- как изменятся сумма погасительного фонда и требуемый взнос при перечислениях в банк в начале года.

По (1.22) S_н =25*[(1+0, 08/4)⁴⁰-1]/(0, 08/4)=1510 млн. руб.

Сумма, которую нужно ежеквартально перечислять в погасительный фонд, определится из соотношения 1600=CF*[(1+0, 08/4)⁴⁰-1]/(0, 08/4)=26, 6 млн. руб.

Если предприятие будет вносить вклады в пенсионный фонд в начале каждого квартала, через 10 лет погасительный фонд будет равен 1510(1+0, 02)=1540 млн. руб. Сумма, которую нужно ежеквартально пренумерандо перечислять в погасительный фонд, определится из соотношения 1600=CF*[(1+0, 08/4)⁴⁰-1]/(0, 08/4)(1+0, 08/4)=25, 97 млн. руб.

Пример 10. Гражданин «Т» в течение последних до выхода на пенсию 10 лет планирует перечислять в пенсионный фонд 2000 рублей в конце каждого месяца под 6% годовых с тем, чтобы получать накопительную пенсию. После достижения пенсионного срока гражданин «Т» планирует заключить договор с пенсионным фондом о выплате ему пенсии ежемесячно (постнумерандо) в течение последующих 15 лет. Определить сумму ежемесячной пенсии при условии неизменности годовой ставки процента.

Наращенная на пенсионном счете сумма вкладов гражданина «Т» составит

2, 0*[((1+0, 06/12)¹²⁰-1)/(0, 06/12)]=327, 8 тыс. руб. Ежемесячная накопительная пенсия определится из условия 327, 8=CF*[(1-(1+0, 06/12)^-120)/(0, 06/12)]. Она составит 3, 642 руб.

Изложенная выше техника учета изменений стоимости денег во времени используется при обосновании платежей по кредитам банков. Рассмотрим этот вопрос на примере.

Пример 11. Требуется определить ежемесячные платежи (П_М) по кредиту в 8 млн. руб., полученному на 6 месяцев по ставке 18% годовых. Платежи выплачиваются в конце соответствующего месяца. Погашение кредита может быть различным. Основные способы платежей по кредиту:

-традиционный (проценты выплачиваются ежемесячно, основной долг в конце срока). Ежемесячные проценты равны 8000*0, 18/12=120 тыс. руб. Это платежи за каждый из первых пяти месяцев. Платеж в конце шестого месяца 8000+120=8120 тыс. руб. Сумма платежей 8000+120*6=8720 тыс. руб.;

-равными суммами ежемесячно. Эти платежи представляют собой дисконтированную сумму аннуитета. По формуле (1.23) 8000=П_М*[1-(1+0, 18/12)^-6/0, 18/12], откуда следует П_М=1404, 2 тыс. руб.;

-равными долями основного долга и соответствующими процентными платежами ежемесячно. Ежемесячная доля основного долга равна 8000/6=1333, 3 тыс. руб. Помимо этой суммы в состав ежемесячного платежа должны войти проценты, начисленные на оставшуюся сумму долга. За первый месяц они равны 120 тыс. руб. (долг равен сумме кредита). Итого плата по кредиту за первый месяц 1333, 3+120=1453, 3 тыс. руб. За второй месяц процентные платежи составят – (8000-1333, 3)*0, 015=100. Итого плата за второй месяц 1333, 3+100=1433, 3 тыс. руб. и т.д.;

-равными суммами, начиная с четвертого месяца (погашение с каникулами). В течение первых трех месяцев платежи отсутствуют, но банк начисляет проценты, т.е. к концу третьего года (первая выплата по кредиту) долг составит 8000*(1+0, 015)³=8365, 4 тыс. руб. Эту сумму заемщик должен выплатить тремя равными суммами в оставшиеся три месяца. Каждый из этих платежей определится из условия 8365, 4=П_М*[1-(1+0, 18/12)^-3/0, 18/12], откуда следует П_М=2872, 7 тыс. руб.

Результаты расчетов приведены в нижеследующей таблице.

Обратим внимание читателя на то, что в каждом ежемесячном платеже содержатся доля основного долга и доля процентных платежей. При первом способе основной долг выплачивается только в последнем периоде. При втором и четвертом способе обслуживания доля процентных платежей возрастает с ростом номера платежа, при третьем – наоборот снижается.