Уравнение регрессии в стандартизованном виде.

Оценки неизвестных параметров уравнения регрессии определяются с помощью метода наименьших квадратов. Однако существует и другой способ оценивания этих коэффициентов в случае множественной линейной регрессии. Для этого строится уравнение множественной регрессии в стандартизированном (нормированном) масштабе. Это означает, что все переменные, участвующие в регрессионной модели, стандартизируются с помощью специальных формул. Процесс стандартизации позволяет установить точкой отсчета для каждой нормированной переменной ее среднее значение по выборке. При этом единицей измерения стандартизированной переменной становится ее среднеквадратическое отклонение. Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

,

где , - стандартизованные переменные;

- стандартизованные коэффициенты регрессии. Т.е. посредством процесса стандартизации точкой отсчета для каждой нормированной переменной устанавливается ее среднее значение по выборочной совокупности. При этом в качестве единицы измерения стандартизированной переменной принимается ее среднеквадратическое отклонение σ. β -коэффициенты показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результат за счет изменения соответствующего фактора x I на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэфф. регрессии Коэффициенты β определяются при помощи МНК из следующей системы уравнений методом определителей:

Следует отметить что величины r_yx1 и r_xixj называются парными коэфф. корреляции и определяются по формулам: r_{yx1 =} yxi среднее – у ср*хiср/ Ǫ хǪ у; r_{xixj =} хixj средние – xi ср*xjср/Ǫ хiǪ xj. Решая систему определяем стандартизованные коэфф. регрессии. Сравнивая их друг с другом можно ранжировать факторы по силе воздействия на разультат. В этом основное достоинство стандартизованных коэфф.регрессии в отличии от коэфф. чистой регрессии, которые несравнимы между собой. Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных. В случае внутренне нелинейныхзависимостей для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации Стандартизованные коэффициенты регрессии β i сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента β i. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии, в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые не сравнимы между собой. коэффициентов «чистой» регрессии bi с коэффициентами β i описывается соотношением:

Параметр a определяется как