Показатели тесноты связи во множественной регрессии

значимость уравнения множественной регрес­сии оценивается с помощью показателя множественной корре­ляции и его квадрата - коэффициента детерминации.. Показатель множественной корреляции характеризует тесно­ту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым при­знаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной кор­реляции может быть найден как индекс множественной корре­ляции:

где σ ² _у — общая дисперсия результативного признака; σ ² _ост - остаточная дисперсия для уравненияy =f(x₁, x ₂,..., x _p).

Расчет индекса множественной корреляции предполагает оп­ределение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

При линейной зависимости признаков формула индекса кор­реляции может быть представлена следующим выражением:

где β _xi - стандартизованные коэффициенты регрессии; r _уxi -парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Скорректированный индекс множественной корреляции со­держит поправку на число степеней свободы:

где т - число параметров при переменных х; n - число наблюдений.

Поскольку , то величину скорректированного индекса детерминации можно представить в виде

Чем больше величина m, тем сильнее различия и R².

Парные коэффициенты корреляции. Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных применяются парные коэффициенты корреляции. Методика расчета таких коэффициентов и их интерпретации аналогичны линейному коэффициенту корреляции в случае однофакторной связи.

Частные коэффициенты корреляции. Однако в реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны. Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень влияния одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается (элиминируется), частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка. При исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками у и х₁при исключенном влиянии признака х₂вычисляется по формуле

где r– парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка. Так по уравнению

возможно исчисление трех частных коэффициентов корреляции второго порядка:

каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при i= 1 имеем формулу для расчетаr _yx1*x2x3, а именно

В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. В основном их используют на стадии формирования модели, в частности в процедуре отсева факторов.