Классификация картографических проекций по характеру искажений. 29 страница

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие " классических" частиц с " квантовыми" с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределённостей и делало бы поведение " классических" частиц также непредсказуемым (в смысле классич. детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов - такова возможная формулировка задачи К. м., в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классич. механика нуждается в абсолютно точном задании нач. условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же нач. условия заданы не точно, а с нек-рой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистич. физика, оперирующая с нек-рыми усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классич. механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классич. механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (напр., в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков.

Рис. 2.

Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и в нек-рых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отражённого света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это - явление интерференции света. Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте? Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к детектору существ, образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идёт не только о свете, но и о любых пучках частиц, напр, электронов.) Полученный результат означает невозможность классич. описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла частица, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определённую траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. T. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, к-рое было бы в случае " классич." частиц, движущихся по определённым траекториям.

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в к-рых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерит, приборы. В классич. физике предполагается, что роль измерит, прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерит, прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерит, прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована H. Бором и В. Гейзенбер-гом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей, к-рое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физич. явления безотносительно к приборам, напр, свойства частиц " самих по себе". Так, решаемые К. м. задачи об энергетич. уровнях атомов, о рассеянии микрочастиц при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях - это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся спе-цифич. вопросы, нек-рые из к-рых лишены, как выяснилось, смысла (напр., вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т. к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернёмся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определённому пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действит. величин - амплитуды А и фазы ф -принято объединять в одно комплексное число, к-рое наз. комплексной амплитудой: [ris] = Ae^iф. Тогда интенсивность равна I = | [ris] |² = [ris] * [ris] = A², где [ris] * - функция, комплексно сопряжённая с ф. T. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны [ris] ₁ и [ris] ₂, ко одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн I₁ = A₁², I₂ = A₂², и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна [ris] ₂ с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны [ris] ₁ (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учётом их фаз. Суммарная волна ф имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:
[ris]

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз [ris] ₁ - [ris] ₂ (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):
[ris]

В частности, при A₁= A₂ и cos (]ph₁ - [ris] ₂)= = -1 | [ris] |² = О.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (напр., из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

[ris] = с_{1 [ris] 1} + c_{2 [ris] 2}, где C₁ и C₂ - комплексные числа:

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить [ris] в С раз, то интенсивность увеличится в |С|² раз, т. е. |С|² будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей. Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физ. результаты не содержат фазы числа С - она произвольна. Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности [ris] = Ae^lф, полагая (по аналогии с оптич. волнами), что в е-роятность w = |c[ris]|² = |с|^{2 [ris]} * [ris]). Здесь с - число, паз. нормировочным множителем, к-рый должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных

местах равнялась 1, т. е.
[ris]

Множитель с определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абс. вероятности; относит, вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности наз. в К. м. также волновой функцией.

Амплитуды вероятности (как оптич. амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если [ris] ₁ и [ris] ₂ - амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна [ris] = [ris] ₁ + [ris] ₂. Тем самым фраза: " частица прошла двумя путями" приобретает волновой смысл, а вероятность то = | [ris] ₁ + [ris] ₂|² обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К. м. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т. к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханич амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классич. точки зрения, исключающие друг друга) движения (напр., волны [ris] ₁ и [ris] ₂ соответствуют частицам, приходящим в детектор двумя различными путями). С классич. точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханич. принципа суперпозиции. Избежать формального логич. противоречия квантовомеханич. принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведёт к тому, что с вероятностью | [ris] ₁|² частица пройдёт первым и с вероятностью | [ris] ₂|² - вторым путём. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью | [ris] ₁|² +| [ris] ₂|², т. е. интерференция исчезнет.

T. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физ. системы в К. м., является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Осн. черта такого квантовомеханич- описания - предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции - осн. принцип К. м. В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), к-рым соответствуют волновые функции [ris] ₁, [ris] ₂,..., [ris] _i,..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией
[ris]

где C_i - произвольные комплексные числа. Если [ris] ₁ описывают альтернативные состояния, то |с_i|² определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией [ris] ₁, и
[ris]

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из основных задач К. м.- нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р, связана волна с длиной [ris] = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы [ris]([ris]) - волна де Бройля - должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении [ris] на [ris] волновая функция [ris] возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция е ^i2пч/x. Если ввести величину k = 2 [ris] / [ris] наз. волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид: [ris] = (h/2[ris])k = hk. T. о., если частица имеет определённый импульс р, то её состояние описывается волновой функцией
[ris]

где С - постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля | [ris] |² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Др. словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация - полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определённо её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количеств, выражение этого принципа - соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале [ris]k Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция [ris] (x) (она называется волновым пакетом) имеет такой характер: вблизи нек-рого фиксированного значения x₀ все амплитуды сложатся, а вдали от x₀ (|x-x₀|> > [ris]) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной [ris]x, обратно пропорциональной интервалу [ris]k, т. е. [ris]x~ 1/ [ris]k, или [ris]. x [ris] p~h(где [ris][ris] = h[ris]k - неопределённость импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенбепга.

Математически любую функцию [ris] (x) можно представить как наложение простых периодич. волн - это известное Фурье преобразование, на основании свойств к-рого соотношение неопределённостей между [ris]x и [ris]k получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства [ris]x [ris]k> =1/2, или
[ris]

причём под неопределённостями [ris] p и [ris]x понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их ср. значений. Физич. интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классич. механике) не существует такого состояния, в к-ром координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка h, в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзен-берга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классич. механики (как движение по определённой траектории).

Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физич. содержание и структуру её математич. аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристич. роль, т.к. многие результаты К.м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классич. механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о к-рой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса [ris] со скоростью v. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна е²/r², где е - абс. величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно v²/r. По второму закону Ньютона mv²/r=e²/r², где т - масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r= e²/mv² может быть сколь угодно малым, если скорость [ris] достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты г, а неопределённость скорости - в пределах [ris], т. е. импульса в пределах [ris]р - mv, то соотношение неопределён-костей примет вид: mvr> =h. Воспользовавшись связью между [ris] и r, определяемой законом Ньютона, получим v< = e²lh и r> =h²/mе². Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим r ₀ = h² /m²~0, 5· 10-⁸ см, невозможно, электрон не может упасть на ядро - атом устойчив. Величина r ₀ и является радиусом атома водорода (" бо-ровским радиусом"). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E₀ (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетич. энергии mv²/2 и потенциальной энергии - е²/r₀, что составляет E₀ = -е²/2r₀~ ~ - 13, 6 эв), определяющая его минимальную энергию - энергию осн. состояния.

T. о., квантовомеханич. представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные h, т, е). " Малость" атомных размеров оказалась связанной с тем, что чмала" постоянная И.

Примечательно, что совр. представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классич. механики. планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханич. ур-ния движения - ур-ния Шрёдингера (см. ниже); ре-, шение ур-ния Шрёдингера даёт волновую функцию [ris], к-рая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида [ris], можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, к-рая соответствует локализации электрона в области с размером > > r₀ и разбросу по импульсам [ris][ris] ~ h/r₀.

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, к-рое ни при каких темп-pax не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качеств, представления о структуре и размерах ядра и т. д.

Существование уровней энергии - характерное квантовое явление, присущее всем физич. системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе ур-ния Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энер-гетич. уровни) E_п > E₀ соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханич. системы (см., напр., Атом).

Стационарное уравнение Шрёдингера. Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (наз. также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы [ris] определяется дифференциальным ур-нием, к-рое получается путём след, обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией & происходят в одном измерении (вдоль оси х), ур-ние, к-рому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:
[ris]

где p =(2т E)^1/2- импульс свободно движущейся частицы (массы т). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V(x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяе-м-ый законом сохранения энергии) равен р² = 2т[E - V(x)]. Простейшим обобщением ур-ния (*) является поэтому ур-ние
[ris]

Оно наз. стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к основным ур-ниям К. м. Решение этого ур-ния зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала V(x). Рассмотрим неск. типичных случаев.

1) V = const, E> V. Решением является волна де Бройля [ris] = Ce^ikx, где h²k² /2m = p²/2m = E-V - кинетическая энергия частицы.

Рис. 3.

2) Потенциальная стенка:

V = O при x < О, V = V₁ > О при x > О. Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е. E > V₁, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение ур-ния (7) в области х< 0 имеет вид двух волн де Бройля - падающей и отражённой:
[ris]

(волна с волновым числом k = - k₀ соответствует движению справа налево с тем же импульсом р₀), а при x > 0 - проходящей волны де Бройля:
[ris]

Отношения |C₁/C₀|² и |C'₀/₀|² определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения - специфически квантовомеханич. (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): " классич." частица проходит над барьером, и лишь импульс её уменьшается до значения
[ris]

вели энергия частицы меньше высоты стенки, E < V (рис. 4, а), то кинетич. энергия частицы E - V в области х> 0 отрицательна. В классич. механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства - она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отри-цат. значение k ²(p ²/2m = h²k²/2m< 0) означает, что k - чисто мнимая величина, k = ix, где и вещественно. Поэтому волна е^ikx превращается в е^-kx, т. е. коле-бат. режим сменяется затухающим (x> 0,

Рис. 4,

иначе получился бы лишённый физ. смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетич. схемой на рис. 4, а (и рис. 4, 6) изображено качеств, поведение волновой функции [ris] (x), точнее её действит. части.

3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером V, и частица движется к барьеру слева с энергией E < V (рис. 4, 6). Согласно классич. механике, частица отразится от барьера; согласно К. м., волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а справа будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т.е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, частица может пройти сквозь барьер. Коэфф. (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V - E) барьера. Этот типично квантовомеханич. эффект, называемый туннельным эффектом, имеет большое значение в практич. приложениях К. м. Он объясняет, напр., явление альфа-распада - вылета из радиоактивных ядер [ris] -частиц (ядер гелия). В термоядерных реакциях, протекающих при темп-pax в десятки и сотни млн. градусов, основная масса реагирующих ядер преодолевает электростатич.(кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия ядерных сил в результате туннельных (подбарьерных) переходов. Возможность туннельных переходов объясняет также автоэлектронную эмиссию - явление вырывания электронов из металла электрич. полем, контактные явления в металлах и полупроводниках и MH. др. явления.

Рис. 5,

Уровни энергии. Рассмотрим поведение частицы в поле произвольной потенциальной ямы (рис. 5). Пусть потенциал отличен от нуля в нек-рой ограниченной области, причем V < О (силы притяжения). При этом и классическое, и квантовое движения существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия E частицы. При E > 0 " классич." частица проходит над ямой и удаляется от неё. Отличие квантовомеханич. движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены - энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E < О частица оказывается " запертой" внутри ямы. В классич. механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях E< 0. В К. м. ситуация существенно меняется. Волновая функция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-^x|^x|. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискретных значений E_п может быть конечным или бесконечным, но оно всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E ₀ (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n наз. квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот [ris] = E_n /h, где [ris] = 2[ris][ris] - угловая частота) - типично волновое явление. Его аналогии наблюдаются в классич. физике, когда волновое движение происходит в ограниченном пространстве. Так, частоты колебаний струны или частоты электромагнитных волн в объёмном резонаторе дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в к-рой происходят колебания. Действительно, ур-ние Шрёдингера математически подобно соответствующим ур-ниям для струны или резонатора.

Рис. 6.

Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях " заперта" внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня E₀ = h[ris] /2; это наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение частицы на дне ямы (E = О) означало бы точное равновесие, при к-ром и x = О, и p = О, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях через интервал h[ris]; формула для энергии n -го уровня:
[ris]

Над каждой горизонтальной прямой на рис. приведено условное изображение волновой функции данного состояния. Характерно, что число узлов волновой функции (т. е. число прохождений через О) равно квантовому числу n энер-гетич. уровня. По др. сторону ямы (за точкой пересечения уровня с кривой потенциала) волновая функция быстро затухает, в соответствии с тем, что говорилось выше.

В общем случае каждая квантовомеханич. система характеризуется своим энергетическим спектром. В зависимости от вида потенциала (точнее, от характера взаимодействия в системе) энергетич. спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы, - её кинетич. энергия может иметь произвольное положит, значение), либо частично дискретным, частично непрерывным (напр., уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях - непрерывны).

Особенно важным является случай, имеющий место в атомах, молекулах, ядрах и др. системах, когда наинизшее значение энергии, соответствующее осн. состоянию системы, лежит в области дискретного спектра и, следовательно, осн. состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетической щелью. Благодаря этому внутр. структура системы не проявляется до тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит определённого значения - ширины энергетич. щели. Поэтому при ограниченном обмене энергией сложная система (напр., ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (материальная точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, напр., теплового движения. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атомных уровней, электроны атомов не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию [ris] как функцию координат и времени t. Для одномерного движения она определяется ур-нием
[ris]