Классификация картографических проекций по характеру искажений. 31 страница

С операторами можно производить алгебраич. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числа-ми), операторы являются такими " числами" (q -числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L и M - два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор | [ris] > в различном порядке даёт разные векторы: LM| [ris] > < > ML|[ris]>, т. е. LM < > ML. Величина LM - ML обозначается как [L, M] и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. [L, M] = О, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и M могут одновременно иметь определённые (точные) значения [ris] и [ris]. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если [L, M] = с, то [ris] L [ris] М> |с|/2, где [ris] L, и [ris] М - среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

Возможна такая математич. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими -числами. Сохраняются и ур-ния движения, но теперь это ур-ния для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса [х, р] =ih. Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга [ris] p [ris] x> > h/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х-) представлении. Тогда волновая функция есть [ris] (x), а оператор импульса - дифференциальный оператор
[ris]

Можно показать, что спектр его собств. значений непрерывен, а амплитуда вероятности < х |р> есть де-бройлевская волна (|р> - собств. вектор оператора импульса р). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н(р, х), то знание коммутатора [х, р] достаточно для нахождения [H, р], [H, х], а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии H.

На основании определения момента количества движения М_z = хр_y - ур_x,... можно получить, что [M_x, М _y] = ihM_z. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собств. значения квадрата полного момента: M²= h²j(j+1), где квантовое число j- целое или полуцелое число, и его проекции М_г = тh, т = -j, -j +1,..., +j·

Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах: в виде ур-ния для вектора состояния
[ris]

- шрёдингеровская форма ур-ния движения, и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)
[ris]
- гейзенберговская форма ур-ний движения, наиболее близкая классич. механике. Из гейзенберговской формы ур-ний движения, в частности, следует, что ср. значения физич. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эрен-ф е с т а.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детермини-стична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |ф> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квантовым объектом в общем случае, строго говоря, непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханич. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квантовых объектов дополнит, степеней свободы-" скрытых параметров", учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти " скрытые параметры" неизвестны и не учитываются. Однако Дж. Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К. м. при сохранении её основного положения о соответствии между наблюдаемыми (физич. величинами) и операторами.

Лит.: Классич. труды - Г е и з е н 6 е р г В., Физические принципы квантовой теории, Л.- M., 1932; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., M., 1960; Паули В., Общие принципы волновой механики, пер. с нем., М.- Л., 1947; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., M., 1964. Учебники-Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц E. M., Квантовая механика, 2 изд., M., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); Б л о х и Н-4 е в Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., M., 1963; Давыдов А. С., Квантовая механика, M., 1963; Соколов А. А., Лоскутов Ю. M., Тернов И. M., Квантовая механика, M., 1962; Б о м Д., Квантовая теория, пер. с англ., M., 1961; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс M., Фейнмановские лекции по физике, пер. с англ., в. 8 и 9, M., 1966 -67; Шифф Л., Квантовая механика, пер. с англ,, 2 изд., M., 1959; Ферми Э., Квантовая механика, пер. с англ., M., 1965. Популярные книги - Б о р н M., Атомная физика, пер. с англ., 3 изд., M., 1970; Пайерлс P. E., Законы природы, пер. с англ., 2 изд., M., 1962. В. Б. Берестецкий.

КВАНТОВАЯ РАДИОФИЗИКА, то же, что и квантовая электроника.

КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА, раздел статистич. физики, исследующий системы MH. частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. См. Статистическая физика.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:

I. Частицы и поля в классической квантовой теории
II. Квантовая электродинамика
III. Метод возмущений в квантовой теории поля
IV. Трудности и проблемы квантовой теории поля
V. Некоторые новые методы в квантовой теории поля

Квантовая теория поля - квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы (полей физических). К. т. п., возникшая как обобщение квантовой механики в связи с проблемой описания процессов порождения, поглощения и взаимных превращений элементарных частиц, нашла затем широкое применение в теории твёрдого тела, ядра атомного и др. и является теперь осн. теоретич. методом исследования квантовых систем.