Временная зависимость прочности. 53 страница

В СССР и др. социалистич. странах М. з. размещаются обычно в соответствии с градостроит.требованиями, согласно ген. планам городов (в частности, в целях экономии территорий в центре города, особо ценных вследствие их насыщенности дорогостоящими коммуникациями, инж. оборудованием и пр.). В кон. 1940-х -нач. 1950-х гг. в Москве по единому градостроительному замыслу было построено 7 высотных зданий в 26-32 этажа (арх. В. Г. Гельфрейх, А. Н. Душкин, Б. С. Мезенцев, М. А. Минкус, А. Г. Мордвинов, Л. М. Поляков, Л. В. Руднев, Д. Н. Чечулин и др.). Сооружение этих зданий ускорило тех-нич. прогресс в области строительства. Поставленные в ключевых местах столицы и увенчанные шпилями, они придали ей новый силуэт и масштабность. Для этих зданий характерны сложная композиция из разновысотных объёмов, обилие декора на фасадах и в интерьерах, низкий процент полезной площади. Стр-во М. з. индустриальными методами резко увеличилось в СССР во 2-й пол. 1960-х гг. (в 1973 - 20% от общего стр-ва жилых зданий). Наряду с осн. массой 9-17-этажных зданий воздвигаются и здания в 25 этажей и выше. Иногда М. з. образуют целые комплексы (напр., проспект Калинина в Москве, 1964-69, арх. М. В. Посохин, А. А. Мндоянц и др.; илл. см. т. 7, табл. XV, стр. 208-209). Единой классификации М. з. не существует. Критерием отнесения зданий к категории М. з. принято считать появление (в результате большой высоты) качественных изменений в их планировке, конструкции и техническом оснащении. В М. з. требуется обеспечение пожарной безопасности (повышенная огнестойкость конструкций, устройство незадымляемых лестниц, систем пожарного водопровода, дымоудаления и др.), конструктивной устойчивости под действием ветровых, в т. ч. динамич., нагрузок, усложняются лифтовое хозяйство и технич. оборудование. Конструктивная устойчивость жилых М. з. достигается гл. обр. за счёт поперечных несущих стен или связевого каркаса (в СССР преим. сборного железобетонного; см. Железобетонные конструкции и изделия, Крупнопанельные конструкции), в обществ, зданиях - в сочетании с т. н, ядром жёсткости (железобетонной коробкой, ограждающей собранные вместе лифтовые шахты, технич. коммуникации). В высотных зданиях за рубежом распространены ядрооболочко-вые конструкции, в к-рых " оболочка" - несущие фасадные ограждения решётчатого типа из стальных или предварительно напряжённых железобетонных элементов - соединяется перекрытиями с расположенным в центре " ядром", образуя единую систему большой жёсткости (две 110-этажные башни Центра междунар. торговли в Нью-Йорке, арх. М. Ямасаки и др., 1971-73). Из-за большого (порой отрицательного) влияния на традиц. облик старых городов огромных объёмов, повторения многих тысяч одинаковых фасадных элементов создать выразительное архит. решение М. з. очень сложно. Стремясь преодолеть сверхчеловеческий масштаб и однообразие, архитекторы вводят в композицию М. з. сопоставление разновысотных объёмов, иногда криволинейные очертания, ищут выразит, пропорции и силуэт, прибегают к ритмич. организации фасадных элементов (напр., группировка балконов и их ограждений или окон в композиции орнаментального характера), к эффектной отделке фасадов нержавеющей сталью, алюминием, бронзой, стеклом (напр., 38-этажное здание Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, 1958, арх. Л. Мис ван дер РОЭ).

Лит.: Д ы х о в и ч н ы и Ю. А., Конструирование и расчет жилых и общественных зданий повышенной этажности, М., 1970; I Международный симпозиум. Многоэтажные здания. Сборник докладов. Москва -СССР. Октябрь 1971, М., 1972 (на рус. и англ, яз.); R a f e i n e r F., Hochhauser. Planting, Kosten, Bauausfuhrung, В., 1968.

А. И. Опочинская,

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ, учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие м н о-ж е с т в а, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристич. свойство элементов, т. е. такое свойство, к-рым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так: х е М (читают: х принадлежит множеству М).

Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А паз. подмножеством, или частью, множества В. Это записывают так: Л? В или В Э А. Т. о., подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В, отличное от всего множества В, наз. правильной частью последнего.

Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы дал в кон. 70-х гг. 19 в. Г. Кантор, основавший М. т. как математич. науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Л, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращённо: (1 - 1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1 - 1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или р а в н о м о щ-ность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1 - 1)-соответствие.

Ещё до создания М. т. Б. Болъцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соот-ветствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1-1 соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1-^-соответствии со своей правильной частью. Напр., если каждому натуральному числу п поставить в соответствие натуральное число 2п, то получим (1 - 1 ^соответствие между множеством всех натуральных и множеством всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне осн. линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощ-ной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Р. Дедекинд).

Для двух бесконечных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо Л есть правильная часть, равномощная В, но в В нет правильной части, равномощной Л; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная Л, а в Л нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная Л. Доказывается, что в третьем случае множества Л и В равномощны (теорема Кантора -Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества Л больше мощности множества В, во втором - что мощность множества В больше мощности множества Л. A priori возможный четвёртый случай - в Л нет правильной части, равномощной В, а в В нет правильной части, равномощной Л, - в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств).

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравно-мощных бесконечных множеств. Напр., множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множеством. Множество, равномощ-ное множеству всех натуральных чисел, наэ. счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраич. чисел счётно, тогда как множество всех действит. чисел несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н. трансцендентных чисел, т. е. действит. чисел, не являющихся корнями никакого алгебраич. уравнения с Целыми коэффициентами (и даже несчётность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел наз. мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще и-мерного пространства при любом п. Кантор высказал гипотезу (т.н. континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действит. чисел, либо конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действит. чисел; по поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума проблема.

Отображения множеств. В М. т. ана-литич. понятие функции, геометрич. понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества X
[ris]

или значением данной функции для данного значения её аргумента х.

Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, напр, на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества X всех точек квадрата на множество У всех точек его основания; точке с координатами (х; у) соответствует точка (х; 0).

2) Пусть X - множество всех действит. чисел; если для каждого действит. числа
[ris]

(1 - 1)-соответствие между двумя множествами X и У есть такое отображение множества X в множество Y, при к-ром каждый элемент множества У является образом одного и только одного элемента

множества X. Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) - нет. Операции над множествами. С у м м о и, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств наз. множество всех тех предметов, каждый из к-рых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств наз. множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А наз. множество всех элементов из В, не являющихся элементами из А: разность между множеством В и его частью А наз. дополнением множества А в множестве В.

Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность, Коммутативность). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М, то и результат будет подмножеством множества М. Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств X и У наз. множество X XV всевозможных пял
[ris]

ных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

Упорядоченныемножества. Установитьв данном множестве X порядок - значит установить для нек-рых пар х', х" элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования¹), выражае-
[ris]

рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, наз. " частично упорядоченным множеством"; иногда вместо " частично упорядоченное множество" говорят " упорядоченное множество" (Н. Бурбаки). Однако чаще упорядоченным множеством наз. такое частично упорядоченное множество, в к-ром порядок удовлетворяет след, дополнительным требованиям (" линейного порядка"): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух раз-
[ris][ris]

3) Всякое множество действит. чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

Два упорядоченных множества наз. подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1 - 1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества наз. первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действит. чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел.г, удовлетворяющих неравенствам a < = x < = b, число а есть первый элемент, а число b - последний.

Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств наз. порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств наз. трансфинитными числами.

Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова - теория множеств, элементами к-рых являются действит. числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трёх- и вообще га-мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело к понятиям метрического пространства и топологического пространства, изучением к-рых занимается общая топология. Наиболее самостоятельное существование ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная франц. математиками Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств (В-множеств). Борелев-ские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества - и только они - могут быть получены как множества точек, в к-рых входящая в Бэра классийикаиию действительная (Функ-
[ris]

преимущественно рус. и польск. математиками, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применён Суслиным для построения теории А -множеств, охватывающих как частный случай борелевские (или В-) множества (считавшиеся до того единств, множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслия показал, что множество, дополнительное к Л-множеству М, является само Л-мно-жеством только в том случае, когда множество М - борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом Л-множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория Л-множеств в течение неск. лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К теории Л-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математич. объектов и разрешимости математич. проблем).

Значение М. т. Влияние М. т. на развитие совр. математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математич. дисциплин (теории функций действительного переменного, общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

Постепенно теоретико-множественные методы находят всё большее применение и в классич. частях математики. Напр., в области математич. анализа они широко применяются в качественной теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей и др.

Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики или таких её больших отделов, как геометрия. Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие изоморфизма систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математич. теория в её чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь " с точностью до изоморфизма", т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения к-рой теория была первоначально создана.

Что касается М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математич. теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логич. трудности, связанные с обоснованием математич. учения о бесконечности (см. Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств, Логика, Конструктивная математика, Континуум).

Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937.

П. С. Александров.

МНОЖЕСТВЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, рождение большого числа вторичных сильно взаимодействующих частиц (адро-нов) в одном акте столкновения частиц при высокой энергии. М. п. характерны для столкновения адронов, однако в редких случаях они наблюдаются и при столкновениях др. частиц, если их энергия достаточна для рождения неск. адронов (напр., при электронных столкновениях на ускорителях со встречными пучками). При столкновениях адронов с энергией выше неск. Гэв М. п. доминируют над процессами одиночного рождения мезонов и упругого рассеяния частиц. Впервые М. п. наблюдались в космических лучах, однако тщательное их изучение стало возможным после создания ускорителей заряженных частиц высоких энергий. В результате исследований взаимодействия частиц космич. лучей с энергией до 10" - 10⁷ Гэв в лабораторной системе координат, а также частиц от ускорителей с энергией до ~ 10³ Гэв (встречные пучки) выявлены нек-рые эмпирич. закономерности М. п.

С наибольшей вероятностью в М. п. рождаются самые лёгкие адроны - пи-мезоны, составляющие 70-80% вторичных частиц. Значит, долю составляют также К-мезоны и гипероны (~ 10-20%) и нуклон-антинуклонные пары (порядка неск. процентов). Многие из этих частиц возникают от распада рождающихся резонансов.

Вероятность столкновения, сопровождаемого М. п. (эффективное сечение М. п.), при высоких энергиях почти не зависит от энергии сталкивающихся частиц (меняется не более чем на неск. десятков процентов при изменении энергии столкновения в 10⁴ раз). Приблизит, постоянство сечения М. п. привело к модели " чёрных шариков" для описания процессов столкновения адронов. Согласно этой модели, при каждом сближении адронов высокой энергии на расстояния, меньшие радиуса действия ядерных сил, происходит неупругий процесс множеств, рождения частиц; упругое рассеяние при этом носит в основном дифракционный характер (дифракция волн де Бройля частиц на " чёрном шарике"). Эта модель сыграла важную роль в развитии теории сильных взаимодействий (в частности, в установлении теоремы Померанчука о равенстве эффективных сечений взаимодействия частиц и античастиц при предельно высоких энергиях). С др. стороны, согласно квантовой теории поля, возможен медленный рост сечения М. п. с увеличением энергии Е, не быстрее, чем 1n² Е (теорема Фруассара).

Рис. 1. Фотография множественного рождения заряженных частиц, полученная в жидководородной пузырьковой камере " Мирабель", помещённой в пучок л-мезо-нов с энергией 50 Гэв на Серпуховском ускорителе.

Число частиц, рождающихся в различных актах столкновения адронов определённой энергии, сильно варьирует и в отдельных случаях оказывается очень большим (рис. 1). Ср. число вторичных частиц (п) (ср. множественность) медленно растёт с ростом энергии столкновения Е и практически не зависит от типа сталкивающихся адронов (рис. 2). При существующей точности измерений зависимость (п) от энергии одинаково хорошо описывается как логарифмической, так и степенной (типа Еv; v < 1) функцией от энергии, что затрудняет выбор между различными теоретич. моделями М. п., предсказывающими разные типы этой зависимости. Ср. множественность много меньш. максимально возможного числа вторичных частиц, к-рое определяется условием, что вся энергия столкновения в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц переходит в масс. покоя вторичных частиц. Так, при столкновении протонов с энергией 70 Гэв (от Серпуховского ускорителя) с протонами мишени могло бы рождаться до 70 я-мезонов, в действительности же ср. множественность заряженных частиц при этой энергии составляет 5-6 частиц. Это означает, что на создание массы покоя вторичных частиц идёт только небольшая часть энергии столкновения, т. е энергия тратится гл. обр. на сообщение осн. части генерированных частиц большой кинетич. энергии (большого импульса). В то же время характерной эмпирич. закономерностью М. п. является то, что поперечные (к оси соударения) компоненты p импульсов вторичных частиц как правило, малы. Ср. значение р составляет приблизительно 0, 3-0, 4 Гэв.
[ris]

и почти постоянно в очень широкой области энергий. Поэтому вторичные частицы вылетают резко направленными и сужающимися по мере роста энергии потоками вдоль направления движения сталкивающихся частиц (в с. ц. и.- вперёд и назад, в лабораторной системе - по направлению движения налетающей частицы).

Изучение М. п. очень существенно для выяснения структуры адронов и построения теории сильных взаимодействий. В этом отношении особое значение имеют закономерности, установленные при изучении спец. класса М. п.- т. н. инклюзивных процессов, когда из большого числа М. п., происходящих при столкновениях адронов " а" и " b", отбираются события с рождением определённой частицы " с" независимо от того, какие др. частицы (X) и в каком количестве сопровождают рождение частицы " с". На важность изучения инклюзивных процессов указал в 1967 А. А. Логунов, установивший на основе квантовой теории поля предельные законы возрастания их сечения с ростом энергии (аналогичные
[ris]

теореме Фруассара). При экспериментальном исследовании инклюзивных процессов на Серпуховском ускорителе (1968) и сравнении полученных данных с результатами опытов при более низких энергиях был обнаружен своеобразный закон подобия в микромире - т. н. масштабная инвариантность, или скейлинг (scaling). Масштабная инвариантность состоит в том, что вероятность рождения " инклюзивной" частицы " с" с определённым значением продольного импульса PL (проекции импульса на направление движения сталкивающихся частиц) является при разных энергиях столкновения универсальной функцией от переменной х = PL/РМАКС, где рмакс - максимально возможное (при данной энергии) значение продольного импульса частицы " с" (рис. 3). Т. о., продольные импульсы вторичных частиц растут пропорционально энергии столкновения. Указания на существование такого рода зависимости получались ранее при изучении космич. лучей. Она вытекала из того факта, что энерге-тич. спектр вторичной компоненты космич. лучей почти точно повторяет форму энергетич. спектра первичной компоненты (Г. Т. Зацепин и др.). Масштабная инвариантность имеет глубокий физич. смысл. Объяснение её на основе модельных представлений о составном строении адронов было предложено в 1969 Р. фейн-маном. (В 1963 на возможность такой закономерности указывал амер. физик К. У ил сон.)

Экспериментальные данные показывают, что масштабная инвариантность наблюдается при столкновениях не только элементарных частиц, но и атомных ядер при релятивистских энергиях.

Из-за отсутствия полной и последоват. теории сильных взаимодействий для объяснения эмпирич. закономерностей, обнаруженных в М. п., используются различные теоретич. модели. В стати-стико-гидродинамич. моделях [развитых в работах В. Гейзенберга, Э. Ферми, Л. Д. Ландау (1949-53) и др.] предполагается, что для сильно взаимодействующих частиц в течение короткого времени столкновения успевает установиться статистическое равновесие между образовавшимися в результате соударения частицами. Это позволяет рассчитать мн. характеристики М. п., в частности ср. множественность, к-рая должна расти с энергией по степенному закону Е" с показателем степени v < 1 (в теории Ферми - Ландау v = 1/4. В др. классе моделей (итал. физики Д. Амати, С. Фубини, А. Стан-геллини и др., сов. физики Е. Л. Фейн-берг, Д. С. Чернавский и др.) считается, что рождение вторичных частиц происходит в -" периферических" или " мультипериферических" взаимодействиях адронов, возникающих в результате обмена между ними виртуальным я-мезоном или др. частицей. С конца 60-х гг. для теоретич. анализа М. п. широко используется представление о том, что сильное взаимодействие при высоких энергиях осуществляется путём обмена особым состоянием - " реджео-ном", являющимся как бы струёй частиц с монотонно меняющимся от частицы к частице импульсом (см. Сильные взаимодействия). Эти представления (развитые, в частности, сов. физиками В. Н. Грибовым, К. А. Тер-Мартирося-ном и др.) позволяют количественно объяснить мн. закономерности М. п. Согласно " мультипериферическим" моделям и модели " реджеонов", ср. множественность должна расти пропорционально логарифму энергии столкновения.

Лит.: Мурзин В. С., Сарыче-в а Л. И., Множественные процессы при больших энергиях, М., 1974 (в печати); Б е-ленький С. 3., Ландау Л. Д., Гидродинамическая теория множественного образования частиц, " Успехи физических наук", 1955, т. 56, в. 3, с. 309; Ф е и н б е р г Е. Л., Множественная генерация адронов и статистическая теория, там же, 1971, т. 104, в. 4, с. 539; Feynman R., Very high-energy collisions of hadrons, " Physical Review Letters", 1969, v. 23, p. 1415; Е ж е л а В. В. [и др.], Инклюзивные процессы при высоких энергиях, " Теоретическая и математическая физика", 1973, т. 15, № 2; Т е р - М а р т и-росян К. А., Процессы образования частиц при высокой энергии, в кн.: Материалы 6-й зимней школы по теории ядра и физике высоких энергий, ч. 2, Л., 1971, с. 334; Розенталь И. Л., Множественные процессы при больших энергиях, " Природа", 1973, № 12.

С.С.Герштейн.

МНОЖЕСТВО (матем.), см. Множеств теория.

МНР, сокращённое название Монгольской Народной Республики. MUA (Dinornithiformes, или Dinorni-thes), отряд вымерших бескилевых птиц. Включает 2 сем., объединяющие св. 20 видов. Высота до 3 л (Dinornis maxi-mus). Голова маленькая, широкая и плоская; клюв большой, широкий, изогнутый вниз; шея длинная, туловище массивное; грудина без киля; передние конечности (крылья) редуцированы; сильно развитые ноги 3-4-палые с относительно короткой цевкой. Остатки М. известны из отложений нижнего плиоцена, но многочисленнее в отложениях антропогена. М. были распространены в Н. Зеландии, обитали в лесах, питались семенами и корнями растений. Последние М. истреблены человеком в кон. 18 - нач. 19 вв.

Moa Dinornis maximus.

Лит.: Lambrecht К., Handbuch der Palaeornithologie, В., 1933.

МОА (Моа), город и порт на сев.-вост. побережье Кубы, в пров. Орьенте. 15 тыс. жит. (1970). Никелекобальтовый комбинат. Домостроит. комбинат. Рыболовство. В р-не М.- добыча никелевых, кобальтовых, железных руд и хромитов.