Основные направления развития теории сильных взаимодействий

Поскольку для описания процессов С. в. теория возмущений (столь эффективная в квантовой электродинамике) неприменима, основные направления совр. теории С. в. связаны с использованием общих принципов квантовой теории поля, симметрии С. в. и различных модельных представлений, в той или иной степени учитывающих многочастичный характер взаимодействия.

В наиболее общем виде процессы, происходящие при взаимодействии частиц, могут быть описаны с помощью матрицы рассеяния (S-матрицы), связывающей состояние системы до реакции с состоянием системы после реакции (В. Гейзенберг, 1943). Элементы матрицы рассеяния представляют амплитуды перехода из различных начальных в различные конечные состояния системы. Т. о., задание матрицы рассеяния полностью определяет вероятности различных каналов реакций при взаимодействии частиц.

Общие принципы квантовой теории поля позволяют получить соотношения, связывающие характеристики различных процессов С. в., и установить определ. ограничения на характер процессов С. в. при высоких энергиях. Эти соотношения являются основой для построения различных приближ. моделей, описывающих экспериментально наблюдаемые закономерности процессов С. в.

Один из осн. принципов квантовой теории поля - унитарность матрицы рассеяния, заключающаяся в том, что сумма вероятностей всех возможных переходов, к-рые могут происходить в к.-л. системе, должна быть равна единице (при этом, естественно, предполагается, что совокупность возможных состояний системы является полной). Из условия унитарности вытекает, в частности, т. н. оптич. теорема, согласно к-рой полное эффективное сечение рассеяния частиц связано с мнимой частью амплитуды упругого рассеяния частиц на нулевой угол. Условие унитарности ограничивает также величину сечения для отдельных парциальных волн, т. е. волн с определ. орбитальным (угловым) моментом количества движения (см. Рассеяние микрочастиц).

Далее, выполнение законов специальной теории относительности (релятивистская инвариантность, или лоренц-инвариантность) даёт возможность сформулировать принцип микропричинности для элементарных процессов С. в. (см. Микропричинности условие). Согласно спец. теории относительности, два события, разделённые пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно-связанными (т. к. расстояние между событиями в этом случае больше, чем путь, к-рый может быть пройден любым сигналом за интервал времени между событиями). Если же события разделены времениподобным интервалом, то только события, предшествующие по времени данному событию, могут явиться его причиной. Такая общая форма принципа микропричинности накладывает определ. ограничения на аналитич. структуру функций, описывающих причинно-связанные события. Это было замечено ещё в классич. электродинамике сплошных сред при описании зависимости диэлектрической проницаемости е(эпсилон) вещества (а следовательно, и показателя преломления волн) от частоты со электромагнитного поля, е(эпсилон) (w) (т. н. дисперсия). Для переменных полей значение электрич. индукции D(t) в нек-рый момент времени t определяется значениями напряжённости электрич. поля Е в предшествующие моменты времени t' (согласно принципу причинности, t'< =t). Поэтому общая линейная связь этих величин может быть записана:
[ris]

В этом выражении f(t - t') - функция, к-рая определяется внутр. строением диэлектрика. Её конкретное выражение для дальнейших выводов несущественно; важно лишь, что в силу трансляционной инвариантности по времени, т. е. независимости от выбора начала отсчёта времени, функция f(t-t') зависит только от разности времён (t-t'). При этом в соответствии с принципом причинности интегрирование по t' ведётся до момента t.

Для компонент Фурье (см. Фурье интеграл) D(w) и E(w) величин D(t) и E(t) будет иметь место соотношение:
[ris]

где диэлектрич. проницаемость е(эпсилон) (w) представляет собой комплексную функцию и равна:
[ris]

пределы интегрирования t(тау)< =0вытекают из условия причинности. Соотношение (4), определённое для действит. значений w, может быть продолжено в область комплексных значений переменного аргумента w. Если положить w = w' + iw", где w' и w" - действительные числа, определяющие соответственно действительную и мнимую части w, то в интеграле выражения (4) возникает множитель е -^wт, обеспечивающий сходимость интеграла при w" > 0, е^-w''т< 1. Т. о., из условия причинности следует, что функция е(эпсилон) (w) является аналитической функцией вверхней полуплоскости комплексного переменного w (w" > 0). Переход в ''нефизическую" область комплексных значений со имеет глубокий смысл, т. к. для аналитич. функций справедлива Кошм теорема, позволяющая выразить значение функции для к.-л. значения переменного через интеграл Коши от этой функции. Выбирая действит. значение переменного, можно получить соотношения для реально измеряемых физических величин. Так были получены дисперсионные соотношения, позволяющие выразить, напр., действит. часть (Re) диэлектрич. проницаемости через интеграл от её мнимой части (Im):
[ris]

где символ Р означает т. н. главное значение интеграла, т. е. исключающее особую точку w ' = w. Существенно, что реальная и мнимая части е(эпсилон) (w) могут быть непосредственно измерены на опыте [Im е(эпсилон) (w) связана с поглощением электромагнитных волн].

Установление аналитич. свойств амплитуды рассеяния частиц представляет значительно более сложную задачу. Основополагающие работы в этом направлении были сделаны Н. Н. Боголюбовым на основе сформулированного им для метода S-матрицы принципа микропричинности. Рассмотрим реакцию упругого рассеяния, в результате к-рой две частицы " а" и " b" с начальными четырёхмерными импульсами р _а и р_ь переходят в состояние с четырёхмерными импульсами соответственно р_а' и р_ъ' [четырёхмерный импульс частицы включает энергию частицы Е и её пространств. импульс р, а квадрат четырёхмерного импульса (р²) в единицах измерения, в к-рых скорость света с=1, определяется как р² = Е² - р² и равен квадрату массы частицы: р² = М²]. Закон сохранения энергии и импульса в реакции рассеяния может быть записан в виде равенства

р_а + р_ь = р'_а + р_ь'. Наиболее просто упругое рассеяние частиц выглядит в с. ц. и. сталкивающихся частиц. В этой системе
р_а + р_ь = р'_а + р_ь' = 0, т. е. импульсы частиц после столкновения направлены в противоположные стороны и равны по абс. величине нач. импульсам:

|р_a| =|р_ь| = |р'_a| = |р'_ь| (см. рис. 2).

Амплитуда рассеяния является функцией двух переменных: энергии системы Е и угла v, на к-рый в результате рассеяния отклоняется одна из частиц. Эти переменные могут быть выражены через 2 независимые релятивистски инвариантные величины

s = (p_а + р_b)² = ( p'_а + р'_b)²

t = (p'_a- p _а)² = (p'_ь - p_b)². (6)

В с. ц. и. величина s равна квадрату полной энергии системы: s = (E_а + E_ь)², а величина t равна (с обратным знаком) квадрату переданного (трёхмерного) импульса, t = -(р'_а - p_а)², и выражается

через угол рассеяния v: t = -2р²(1--cosv), где р - импульс частиц в с. ц. и. Наряду с величинами s, t вводится третья релятивистски инвариантная величина и:

U = (р'_a- p_а)² = (p'_а -p_b)², (6')

к-рая в силу закона сохранения энергии-импульса связана с величинами s и t соотношением: s + t + и = 2m_a + 2m_b, где m_a, m_b - массы частиц " а" и " b".

В процессах упругого рассеяния частиц область изменения величины s ограничена неравенством s> =(m_a + т_ь)², а область изменения t - неравенствами 0> t> -4р². Эту область изменения переменных наз. физич. областью. Амплитуда рассеяния при фиксированной передаче импульса t может быть продолжена в комплексную область по энергетич. переменной s иоказывается связанной с амплитудой рассеяния античастиц. Эта связь заключается в следующем. Рассмотрим наряду с реакцией упругого рассеяния к.-л. частиц, напр. п ⁺ -мезонов на протонах:
[ris]

(в скобках указаны четырёхмерные импульсы частиц), реакцию рассеяния
[ris]

получающуюся из (I) переносом символа п-мезона из одной части равенства в другую с одновременной заменой частицы (п⁺) на античастицу (п~) и знаков их четырёхмерных импульсов: р-> -р, р'-> -р'. При переходе от процесса (I) к процессу (II) переменная t остаётся неизменной, a s и u меняются местами. Физич. области обоих процессов соответствуют двум различным неперекрывающимся областям изменения кине-матич. переменных s, и. Доказательство Боголюбовым аналитичности амплитуды в комплексной плоскости переменной s позволяет утверждать, что амплитуды процессов I и II являются предельными значениями единой аналитич. функции F_t(s) в разных областях изменения переменной s с разрезами на вещественной оси (рис. 4). Правый разрез определяется условием s> =(M + м(мю))² (где М и м(мю) - массы протона и пиона), а левый разрез - условием и = 2М² + 2 м(мю) ²- s - t> =(M + м(мю))². На " верхнем берегу" правого разреза F_t(s) совпадает с амплитудой T(s, t) процесса (I):
[ris]

а на " нижнем берегу" левого разреза -с амплитудой процесса (II):
[ris]

Отсюда вытекает соотношение т. н. перекрёстной симметрии (или кроссинг-симметрии):
[ris]

Рис. 4.

Это соотношение связывает значение амплитуды одного процесса в его физич. области со значением амплитуды др. процесса вне физич. области последнего. Поэтому соотношение перекрёстной симметрии не имело бы смысла, если бы не существовало продолжения амплитуды процесса (I) из его физич. области на левый разрез.

Для определения особых точек аналитич. функции F_t(s) важнейшее значение имеет продолжение условия унитарности S-матрицы в " нефизич." область кинематич. переменных (лежащую вне " физич." областей, определяемых законами сохранения энергии и импульса для начальных и конечных состояний). Так, если две частицы " а" и " b" могут переходить в результате С. в. в виртуальную частицу " с": а + b-> с, то из условия унитарности следует, что амплитуда процесса рассеяния а + b-> а + b будет иметь полюс по переменной s при значении s = т_с², где т_с- масса частицы " с". Этот полюс при т_с< m _а + т_ь лежит в " нефизич." области процесса упругого рассеяния а + b-> а + b [" физич." область, как уже отмечалось, начинается с s = т_a + т_ь)²]. Если же т_с > т _а + т_b, частица " с" нестабильна относительно распада (за счёт С. в.) с-> а + b, т. е. является резонансом, и полюс амплитуды расположен на " нефизич." листе римановой поверхности, соответствующем аналитич. продолжению амплитуды через разрез в комплексной плоскости s (см. Аналитические функции).

Тот факт, что особенности амплитуды, связанные с образованием виртуальных частиц, лежат в " нефизич." области, имеет простой смысл. Действительно, рождение виртуальных частиц сопровождается нарушением закона сохранения энергии, происходящим на короткое время в соответствии с соотношением неопределённостей. Поскольку физич. области определяются законами сохранения энергии-импульса и условием стабильности начальных и конечных частиц в процессах С. в., образованию виртуальных состояний соответствуют значения кинематич. переменных, лежащие вне этих областей. Т. о., именно в " нефизич." областях кинематич. переменных содержится информация о процессах обмена виртуальными частицами, посредством к-рого и осуществляется С. в.

Помимо полюсов, амплитуда рассеяния может иметь и др. особые точки. Так, при энергии, соответствующей порогу к.-л. неупругого процесса, напр. а + b-> с + d [т. е. при s = (т_с + т_d)²], амплитуда реакции а + b-> a + b имеет точку ветвления. При (т_с + т_а)> (т _а + т_ь) эти особенности лежат в физич. области процесса а + b-> а + b и приводят к нерегулярностям в поведении эффективного сечения рассеяния частиц а + b вблизи порога рождения частиц c и d, вызванным появлением нового канала реакции.

Если предположить, что амплитуда рассеяния как функция переменных s, t, и имеет только те особые точки, к-рые возникают из обобщённого условия унитарности S-матрицы, то можно прийти к заключению, что единая аналитич. функция f(s, и, t) в разных областях изменения переменных описывает три различных процесса:
[ris]

(значком " тильда" над символом частицы помечены античастицы), а также обратные им реакции. Хотя это предположение и не обосновано строго на основе принципов квантовой теории поля (как это сделано, напр., для связи каналов рассеяния п+ + р-> п⁺ + р и п^- + р- > п^-+ р при фиксированных переданных импульсах) и справедливость его подтверждается только на основе рассмотрения низших порядков теории возмущения, оно тем не менее часто принимается в виде постулата совр. теории.

Предположение о том, что единая аналитич. функция в разных областях изменения своих переменных соответствует амплитудам физ. процессов (I), (II), (III), позволяет написать для неё дисперсионные соотношения по двум комплексным переменным (s, t), (s, и), (t, и) - т. н. двойное спектральное представление Манделстама, с помощью к-рого может быть осуществлено аналитич. продолжение амплитуды в области изменения переменных s, t, и, отвечающих " нефизич". областям реакций (I), (II), (III). Тем самым это представление становится основой динамич. описания С. в., не использующего теорию возмущений. Действительно, как уже отмечалось, обмену виртуальными частицами (посредством к-рого и осуществляется С. в.) отвечают особенности амплитуды, лежащие в ''нефизич." областях. Т. о., " нефизич." область одного канала реакции может существенно определять поведение амплитуды в " физич." области др. канала.

Строгие результаты квантовой теории поля для сильных взаимодействий

На основе квантовой теории поля были строго получены нек-рые результаты, вытекающие из аналитич. свойств амплитуды рассеяния. Аналитичность амплитуды по энергии позволяет записать дисперсионные соотношения, с помощью к-рых действит. часть амплитуды рассеяния под нулевым углом выражается через интеграл от мнимой части амплитуды. Поскольку, согласно оптич. теореме, мнимая часть амплитуды упругого рассеяния вперёд в " физич." области (на правом разрезе комплексной плоскости s) связана с полным сечением рассеяния частицы, а на левом разрезе (благодаря перекрёстной симметрии) выражается через полное сечение рассеяния античастицы, действит. часть амплитуды может быть представлена в виде дисперсионного интеграла, в к-рый входит разность сечений для частиц и античастиц на одной и той же мишени. Помимо этого, в дисперсионное соотношение входит вклад от полюсов, лежащих в " нефизич." области (напр., в случае пN-рассеяния - от полюса, отвечающего виртуальному превращению п + N-> N -> п + N). Одно из важных следствий дисперсионных соотношений -возможность определить из эксперимент. данных константу взаимодействия нуклонов с пионами и проверить её универсальность в различных реакциях. Др. следствие относится к асимптотическому поведению полных сечений рассеяния частиц и античастиц при высоких энергиях. Исходя из предположения о том, что упругое рассеяние адронов высокой энергии носит характер дифракц. рассеяния с постоянным радиусом (см. выше), а полные сечения стремятся с ростом энергии к постоянным пределам, И. Я. Померанчук на основе дисперсионных соотношений доказал теорему о равенстве этих пределов для полных сечений рассеяния частиц и античастиц на одной и той же мишени [напр.,
[ris][ris]

На основе принципов квантовой теории поля было показано, что амплитуда рассеяния является аналитич. функцией переменного z = cosv внутри эллипса, большая полуось к-poro выходит в " нефизич." область z> 1 и определяется наименьшей массой частиц, существующих в t-канале реакции (т. е. частиц, переносящих С. в.). Из аналитичности амплитуды в этом эллипсе вытекает, что парциальные амплитуды рассеяния, отвечающие столкновению частиц с относит. орбитальным моментом l, экспоненциально убывают при больших l, начиная с величины, пропорциональной
[ris]

наименьшая масса частиц, переносящих взаимодействие. Этот результат соответствует качеств. соображениям, согласно к-рым радиус взаимодействия, обусловленного обменом к.-л. частицами, обратно пропорционален массе частиц, переносящих взаимодействие. Действительно, если взаимодействие имеет радиус R₀, то макс. орбитальный момент l_о при столкновении частиц с импульсом р, при к-ром ещё происходит взаимодействие, определяется соотношением I p I R_o ~= hl _o, т. е. Ro~lns/ м(мю). Т. о., аналитич. свойства амплитуды рассеяния как функции переданного импульса позволяют установить макс/ радиус взаимодействия, к-рый, однако, может расти с ростом энергии пропорционально lns. Отсюда следует, что полное сечение взаимодействия не может увеличиваться с ростом энергии быстрее, чем In²s, а дифракц. конус в упругом рассеянии - сужаться быстрее, чем In²s. Из аналитич. свойств амплитуды рассеяния и короткодействующего характера С. в. вытекает ряд теорем, напр. равенство дифференц. сечений рассеяния частиц и античастиц на одной мишени, обобщение теоремы Померанчука на случай растущих с увеличением энергии сечений и радиусов взаимодействия и др.

На основе дисперсионных соотношений и условия унитарности развита теория, описывающая в области энергий приблизительно до 1 Гэв процессы рождения п-мезонов у(гамма) -квантами (т. н. фоторождение), процессы рассеяния п-мезонов на нуклонах и п-мезонах и др.

Реджевские траектории - основа динамической систематики частиц Амплитуда рассеяния частицы выражается через парциальные амплитуды f_i(E), отвечающие различным орбитальным моментам l столкновения. По самому квантомеханич. смыслу величины l могут принимать лишь целые положит. значения. Однако для случая рассеяния частицы на к.-л. сферически симметричном потенциале парциальные амплитуды можно формально продолжить в область комплексных значений l. При этом можно показать, что парциальная амплитуда является аналитич. функцией l в правой полуплоскости комплексного переменного l (точнее, при Re l > -1/2). Метод аналитич. продолжения по l ввёл итал. физик Т. Редже. Он показал, что для короткодействующих потенциалов (в том числе для потенциала Юкавы V = ge^-мr/r и суперпозиции таких потенциалов) особенностями парциальной амплитуды правее линии Re l = - 1/2 могут являться только полюсы l_i = l_i(E), положение к-рых в комплексной плоскости зависит от энергии. Эти полюсы, наз. полюсами Редже, имеют простой физич. смысл. Стабильные связанные состояния и резонансы непосредственно получаются из полюсов Редже. Если при нек-рых значениях энергии Е = Е_п ниже порога (т. е. при Е< 0 для рассеяния частицы на внеш. поле, обращающемся в 0 на бесконечность, или при Е< m_а + т_ъ для процессов столкновения частиц " а" и " b") величина l_i(E_n) равна целому положит. числу l, то это означает, что система имеет стабильные связанные состояния с орбитальным моментом l. Если при значениях энергии Е = Е_r (выше порога) Re l _i(Е_r) равна целому положит. числу, то это означает, что система имеет резонансы. Функция l _i< (Е) наз. реджевской траекторией. Заметим, что выше порога реакции она является комплексной. Учёт обменного взаимодействия приводит к тому, что для связанных состояний и резонансов с чётными орбитальными моментами будет одна траектория Редже, а для нечётных -другая.

Приведём пример траектории Редже для рассеяния электрона в кулоновском поле ядра водородоподобного атома. Уровни энергии в этом случае определяются формулой Бора:
[ris]

(n-главное квантовое число, Z- атомный номер; см. Атом), что даёт зависимость:
[ris]

в к-рой целым положит. значениям l отвечают определённые уровни энергии системы Е_п. Для значений Е> 0 (выше порога) l(Е) равна

l(E) =-1- n _r+i х Zm_ee² /h²r

(где k - волновое число, связанное с энергией соотношением Е = h ^2r2/2m_е). Т. к. Re l(E) для Е> 0 не равна целому положит. числу, это означает, что система не имеет резонансных состояний.

Траектории Редже явились основой систематики ядерно-стабильных частиц и резонансов. В отличие от систематики, основанной на симметрии частиц, эта систематика опирается на динамику взаимодействия. При помощи реджевской траектории а(Е) можно систематизировать частицы с одинаковыми внутр. характеристиками и отличающимися на чётное число значениями спина. Группы частиц, объединённые в супермультиплеты, должны, следовательно, повторяться с различными значениями спинов (отличающимися на чётное число). Т. е. наряду с октетом барионов со спином 1/2 должны существовать октеты барионов со спином 5/2, 9/2 и т. д. Т. о., получается нек-рый аналог периодич. системы Менделеева и реджевские траектории, объединяющие частицы с одинаковыми внутр. характеристиками, аналогичны её столбцам.

Как показывает опыт, реджевские траектории для частиц являются приближённо линейными функциями от квадрата их масс (рис. 5). Траектория, на к-рой лежат резонансы с квантовыми числами (кроме l) вакуума (I = J = О, чётность Р=- +1), играет важную роль для феноменологич. описания процессов рассеяния, определяя полное сечение при очень высоких энергиях (она наз. вакуумной траекторией, или траекторией Померанчука). Процессы, в к-рых происходит передача заряда, странности и др. квантовых чисел (напр., п^- + р -> п° + + n), при феноменологич. анализе описываются траекториями Редже с соответствующими квантовыми числами (" реджеонами").

Рис. 5. Траектории Редже для А -резонансов.

В релятивистской теории наряду с полюсами Редже появляются и точки ветвления. Однако структура особенностей в комплексной l плоскости до конца ещё не выяснена.

На основе предположений о характере особенностей парциальных амплитуд построены различные реджеонные модели для описания процессов рассеяния и множеств. рождения при высоких энергиях.

Для изучения процессов С. в. успешно используются также мультипериферическая модель и описание реакций с помощью квазипотенциалов, учитывающих поглощение частиц.

На основе дисперсионных соотношений и предположения о характере особенностей в l -плоскости построены правила сумм, к-рые интегрально связывают резонансы в одном канале реакции с резонан-сами перекрёстного канала (т. н. " глобальная дуальность"). Дальнейшим развитием этого подхода является гипотеза локальной дуальности, согласно к-рой амплитуда процесса в каждом канале реакции определяется при низких энергиях резонансами, существующими в этом канале, а при высоких энергиях -резонансами из перекрёстных каналов. Гипотеза дуальности является отправной точкой для построения различных дуальных моделей.