Симметрия и законы сохранения 1 страница

Согласно Нётер теореме, каждому преобразованию С., характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, к-рая сохраняется (не меняется со временем) для системы, обладающей этой С. Из С. физ. законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из С. относительно калибровочных преобразований 1-го рода - законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др.), из изотопич. инвариантности - сохранение изотопического спина в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных С., то в классич. механике они не приводят к к.-л. законам сохранения. Однако в квантовой механике, в к-рой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (напр., электромагнитного поля), где справедлив суперпозиции принцип, из существования дискретных С. следуют законы сохранения нек-рых специфич. величин, не имеющих аналогов в классич. механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространств. чётности, сохранение к-рой вытекает из С. относительно пространств. инверсии. Действительно, пусть
[ris]

волновая функция, описывающая к.-л. состояние системы, а ж(пси) ₂ - волновая функция системы, получающаяся в результате пространств. инверсии (символически:
[ris]

где Р - оператор пространств, инверсии). Тогда, если существует С. относительно пространств. инверсии,
[ris]

является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции
[ris]

симметричная комбинация
[ris]

и антисимметричная
[ris]

При преобразованиях инверсии состояние
[ris]

не меняется (т. к.
[ris]
[ris]

а состояние
[ris]

меняет знак
[ris]

В первом случае говорят, что пространств. чётность системы положительна (+1), во втором - отрицательна (- 1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, к-рые не Меняются при пространств. инверсии (таких, напр., как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространств. инверсии, абсолютно запрещены).

Аналогично, из С. относительно зарядового сопряжения и комбинированной инверсии следует существование зарядовой чётности (С-чётности) и комбинированной чётности (СР-чётности). Эти величины, однако, могут служить характеристикой только для абсолютно нейтральных (обладающих нулевыми значениями всех зарядов) частиц или систем. Действительно, система с отличным от нуля зарядом при зарядовом сопряжении переходит в систему с противоположным знаком заряда, и поэтому невозможно составить суперпозицию этих двух состояний, не нарушая закона сохранения заряда. Вместе с тем для характеристики системы сильно взаимодействующих частиц (адронов) с нулевыми барионным зарядом и странностью (или гиперзарядом), но отличным от нуля электрич. зарядом, можно ввести т. н. G-чётность. Эта характеристика возникает из изотопич. инвариантности сильных взаимодействий (к-рую можно трактовать как С. относительно преобразования поворота в " изотопич. пространстве") и зарядового сопряжения. Примером такой системы может служить пи-мезон. См. также ст. Сохранения законы.

Симметрия квантовомеханических систем и стационарные состояния. Вырождение Сохранение величин, отвечающих различным С. квантовомеханич. системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени (см. Квантовая механика, Перестановочные соотношения). Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполнеопределённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Т. о., стационарные состояния (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими С. рассматриваемой системы.

Наличие С. приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханич. системы, к-рые получаются друг из друга преобразованием С., обладают одинаковыми значениями физ. величин, не меняющихся при этих преобразованиях.

Т. о., С. системы, как правило, ведёт к вырождению. Напр., определённому значению энергии системы может отвечать неск. различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях С. В математич. отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы С. системы (см. Группа). Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной С. системы (напр., относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнит. вырождение, связанное с т. н. скрытой С. взаимодействия. Такие скрытые С. существуют, напр., для кулоновского взаимодействия и для изотропного осциллятора.

Если система, обладающая к.-л. С., находится в поле сил, нарушающих эту С. (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, к-рые в силу С. системы имели одинаковую энергию, под действием " несимметричного" возмущения приобретают различные энергетич. смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает нек-рой С., составляющей часть С. исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с С. взаимодействия, " включающего" возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование С. взаимодействия и позволяет в принципе найти эту С., когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, напр., в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрич. зарядами (т. н. изотопич. мультиплетов) позволило установить изотопич. инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU(3)-C. сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту С. (см. Сильные взаимодействия). Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой С.

Весьма плодотворно понятие т. н. динамической С. системы, к-рое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамич. С. будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамич. С. можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамич. группы С. объединяются в этом случае все состояния квантовомеханич. системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

Лит.: В и г н е р Е., Этюды о симметрии, пер. с англ., М., 1971. С. С. Герштейн.

СИММЕТРИЯ в химии проявляется в геом. конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. Д; (см. Симметрия в математике). Так, молекула аммиака NH₃ обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана СН₄ - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия). Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамич. группах симметрии - группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамич. группа симметрии для молекулы NH₃ включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону.

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход, между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре, либо быть запрещённым, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между к-рыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции к-рых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со спином этих состояний.

У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии q -фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса, тогда как у молекул, ядра атомов к-рых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса.

В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отд. орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в к-рой лежат ядра, то все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (б) и антисимметричные (п) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у к-рых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются п-орбитали, образуют специфич. классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отд. фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химич. превращений, напр. при фотохимич. реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретич. анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллич. поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетич. уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах.

В 1965 Р. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химич. реакциях, подтверждённый впоследствии обширным экспериментальным материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органич. химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химич. лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органич. сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

Лит.: Хохштрассер Р., Молекулярные аспекты симметрии, пер. с англ., М., 1968; Б о л о т и н А. Б., Степанов Н. Ф., Теория групп и ее применения в квантовой механике молекул, М., 1973; В у д в о р д Р., Хоффман Р., Сохранение орбитальной симметрии, пер. с англ., М., 1971. Н. Ф. Степанов.

СИММЕТРИЯ в биологии (биосимметрия). На явление С. в живой природе обратили внимание ещё в Др. Греции пифагорейцы (5 в. до н. э.) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвящённые С. растений (франц. учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий- Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Бешан, Л. Пастер и др.). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории С. (сов. учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голл. физикохимик Ф. М. Егер, англ. кристаллографы во главе с Дж. Берналом) и учения о правизне и левизне (сов. учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др.; нем. учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о С.- биосимметрики.

Наиболее интенсивно изучалась структурная С. биообъектов. Исследование С. биоструктур - молекулярных и надмолекулярных - с позиций структурной С. позволяет заранее выявить возможные для них виды С., а тем самым число и вид возможных модификаций, строго описывать внеш. форму и внутр. строение любых пространственных биообъектов.

Это привело к широкому использованию представлений структурной С. в зоологии, ботанике, молекулярной биологии. Структурная С. проявляется прежде всего в виде того или иного закономерного повторения. В классич. теории структурной С., развитой нем. учёным И. Ф. Гесселем, Е. С. Фёдоровым и др., вид С. объекта может быть описан совокупностью элементов его С., т. е. таких геом. элементов (точек, линий, плоскостей), относительно к-рых упорядочены одинаковые части объекта (см. Симметрия в математике). Напр., вид С. цветка флокса (рис. 1, в) - одна ось 5-го порядка, проходящая через центр цветка; производимые посредством её операции - 5 поворотов (на 72, 144, 216, 288 и 360°), при каждом из к-рых цветок совпадает с самим собой. Вид С. фигуры бабочки (рис. 2, а) - одна плоскость, делящая её на 2 половины - левую и правую; производимая посредством плоскости операция - зеркальное отражение, " делающее" левую половинку правой, правую - левой, а фигуру бабочки совмещающей с самой собой. Вид С. радиолярии Lithocubus geometricus (рис. 3, б), помимо осей вращения и плоскостей отражения содержит ещё и центр С. Любая проведённая через такую единственную точку внутри радиолярии прямая по обе стороны от неё и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. Операции, производимые посредством центра С., - отражения в точке, после которых фигура радиолярии также совмещается сама с собой.

Рис. 1. Аксиальная симметрия: а - лист плюща; б - медуза Aurelia insulinda; в - цветок флокса. При повороте этих фигур вокруг оси симметрии равные части каждого из них совпадут друг с другом соответственно 1, 4, 5 раз (оси 1, 4, 5-го порядка). Лист плюща асимметричен.

В живой природе (как и в неживой) из-за различных ограничений обычно встречается значительно меньшее число видов С., чем возможно теоретически. Напр., на низших этапах развития живой природы встречаются представители всех классов точечной С. - вплоть до организмов, характеризующихся С. правильных многогранников и шара (см. рис. 3). Однако на более высоких ступенях эволюции встречаются растения и животные в основном т. н. аксиальной (вида п) и ак-тиноморфной (вида п m) С. (в обоих случаях п может принимать значения от 1 до бесконечности). Биообъекты с аксиальной С. (см. рис. 1) характеризуются лишь осью С. порядка п. Биообъекты сактиноморфной С. (см. рис. 2) характеризуются одной осью порядка п и пересекающимися по этой оси плоскостями т. В живой природе наиболее распространены С. вида п = 1 и 1 т = т, наз. соответственно асимметрией и двусторонней, или билатеральной, С. Асимметрия характерна для листьев большинства видов растений, двусторонняя С.- до известной степени для внеш. формы тела человека, позвоночных животных и мн. беспозвоночных. У подвижных организмов такая С., по-видимому, связана с различиями их движений вверх-вниз и вперёд-назад, тогда как их движения направо-налево одинаковы. Нарушение у них билатеральной С. неизбежно привело бы к торможению движения одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.

Рис. 2. Актиноморфная симметрия: а -бабочка: б - лист кислицы: симметрии соответственно 1 m, 3 m. Бабочке свойственна двусторонняя, или билатеральная, симметрия.

В 50-70-х гг. 20 в. интенсивному изучению (прежде всего в СССР) подверглись т. н. диссимметрические биообъекты (рис. 4). Последние могут существовать по крайней мере в двух модификациях - в форме оригинала и его зеркального отражения (антипода). При этом одна из этих форм (неважно какая) наз. правой или D (от лaт. dextro), другая-левой или L (от лат. laevo). При изучении формы и строения D- и L-биообъектов была развита теория диссимметризующих факторов, доказывающая возможность для любого D- или L-объекта двух и более (до бесконечного числа) модификаций (см. также рис. 5); одновременно в ней содержались и формулы для определения числа и вида последних.

Рис. 3. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Радиолярии: а - шарообразная Ethmosphaera polysyphonia, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; 6 - кубические Hexastylus margmsitus и Lithoeubus geometricus, характеризующиеся симметрией куба; в - додекаэдрическая Circorhegma dodecahedra, характеризующаяся симметрией правильных многогранников - додекаэдра и икосаэдра; частица (г) п модель (д) аденовируса в форме икосаэдра.

Рис. 4. Диссимметрические D- и L-био-объекты: а - цветки анютиных глазок; б - раковины прудовика; в - молекулы винной кислоты; г - листья бегонии.

Рис. 5. Лист липы, иллюстрирующий возможность существования диссимметрических объектов более чем в двух (в данном случае в 16) модификациях. Для листа липы диссфакторы - это 4 морфологических признака: преимущественные ширина (ш) и длина (д), асимметричные жилкование (ж) и загиб главной жилки (г). Так как каждый из диссфакторов может проявляться двояко - в (+)-или (-)-формах - и соответственно приводить к D- или L-модификациям, то число возможных модификаций будет 2⁴ = 16, а не две.

Эта теория привела к открытию т. н. биол. изомерии (разных биообъектов одного состава; на рис. 5 изображены 16 изомеров листа липы).

При изучении встречаемости биообъектов было установлено, что в одних случаях преобладают D-, в других L-формы, в третьих они представлены одинаково часто. Бешаном и Пастером (40-е гг. 19 в.), а в 30-х гг. 20 в. сов. учёным Г. Ф. Гаузе и др. было показано, что клетки организмов построены только или преим. из L-аминокислот, L-белков, D-дезоксирибонуклеиновых к-т, D-caхаров, L-алкалоидов, D- и L-терпенов и т. д. Столь фундаментальная и характерная черта живых клеток, названная Пастером диссимметрией протоплазмы, обеспечивает клетке, как было установлено в 20 в., более активный обмен веществ и поддерживается посредством сложных биологич. и физ.-хим. механизмов, возникших в процессе эволюции. Сов. учёный В. В. Алпатов в 1952 на 204 видах сосудистых растений установил, что 93, 2% видов растений относятся к типу с L-, 1, 5%- с D-ходом винтообразных утолщений стенок сосудов, 5, 3% видов -к типу рацемическому (число D-сосудов примерно равно числу L-сосудов).

При изучении D- и L-биообъектов было установлено, что равноправие между D-и L-формами в ряде случаев нарушено из-за различия их физиологич., биохимия, и др. свойств. Подобная особенность живой природы была названа диссимметрией жизни. Так, возбуждающее влияние L-аминокислот на движение плазмы в растит. клетках в десятки и сотни раз превосходит такое же действие их D-форм. Мн. антибиотики (пенициллин, грамицидин и др.), содержащие D-аминокислоты, обладают большей бактерицидностью, чем их формы с L-аминокис-лотами. Чаще встречающиеся винтообразные L-корнеплоды сахарной свёклы на 8-44% (в зависимости от сорта) тяжелее и содержат на 0, 5-1% больше сахара, чем D-корнеплоды.

Изучение наследования признаков у D-и L-форм показало, что их правизна или левизна может быть наследственной, ненаследственной или имеет характер длительной модификации. Это означает, что по крайней мере в ряде случаев правизну-левизну организмов и их частей можно изменить действием мутагенных или немутагенных химических соединений. В частности, D-штаммы (по морфологии колоний) микроорганизма Bacillus mycoides при выращивании их на агаре с D-caхарозой, L-дигитонином, D-винной к-той можно превратить в L-штаммы, а L-штаммы можно превратить в D-штаммы, выращивая их на агаре с L-винной к-той и D-аминокислотами. В природе взаимопревращения D- и L-форм могут происходить и без вмешательства человека. При этом смена видов С. в эволюции происходила не только у диссимметрических организмов. В результате возникли многочисленные эволюционные ряды С., специфичные для тех или иных ветвей древа жизни.

Структурная С. биосистем изучается также с точки зрения более общих типов С.- цветной С., С. подобия, антисимметрии и др.

Разработка учения о С. биообъектов позволит углубить представления как об их свойствах и функциях, так и о происхождении и сущности жизни.

Лит.: Гаузе Г. Ф., Асимметрия протоплазмы, М.- Л., 1940; Вайнштейн Б. К., Дифракция рентгеновых лучей на цепных молекулах, М., 1963; Беклемишев В. Н., Основы сравнительной анатомии беспозвоночных, 3 изд., т. 1 - 2, М., 1964; Урманцев Ю. А., Симметрия природы и природа симметрии, М., 1974; L u d w i g W., Das Rechts-Links-Problem im Tierreich und beim Menschen..., В.- Hdlb.-N. Y., 1970; В e n t 1 e у R., Molecular asymmetry in biology, v. 1 - 2, N. Y., 1969-70 Ю. А. Урманцев.

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ, свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внеш. формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, к-рая обусловливает также и симметрию физ. свойств кристалла.

На рис. 1, а изображён кристалл кварца. Внешняя его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенств о). Кристалл метасиликата натрия (рис. 1, 6) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии т (зеркальное равенство). Т. о., симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой.

Рис. 1. а - кристалл кварца: 3 - ось симметрии 3-го порядка, 2x, 2y, 2w - оси 2-го порядка; 6 - кристалл водного ме-тасиликата натрия: т - плоскость симметрии.

Если F (x₁, x₂, х₃)- функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или к.-л. его свойство, а операция q [x₁, x₂, х₃] осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то q является операцией или преобразованием симметрии, a F - симметричным объектом, если выполняются условия:

q [x₁, x₂, х₃ ] = x'_i, х'_г, х'_з, (1, a)

F(x₁, x₂, х₃) = F(x'₁, x'₂, x'₃). (1, б)

В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при нек-рых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классич. теория С. к.-теория симметрич. преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутр. атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решётка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетич. спектра электронов кристалла в импульсном пространстве (см. Твёрдое тело), при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а неск. операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 1, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция q₁), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция q₂), а также при поворотах на 180* вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции q₃, q₄ и q ₅ ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрич. образ - элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно к-рой производится данная операция. Напр., ось 3 или оси 2х, 2у, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 1, 6) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии [q₁,..., q_n] данного кристалла образует группу симметрии G в смысле математич. теории групп. Последоват. проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности q_о, ничего не изменяющая в кристалле, наз. отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу п измерений пространства, в к-рых они определены; по числу т измерений пространства, в к-рых объект периодичен (их соответственно обозначают Cⁿ_m) и по нек-рым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из к-рых важнейшими являются пространственные группы симметрии G₃³, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы симметрии G₀³, описывающие их внеш. форму. Последние наз. также кристаллографич. классами.

Симметрия огранки кристаллов. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 2, б), инверсия I (симметрия относительно точки, рис. 2, в), инверсионные повороты N (комбинация поворота на 360°/N с одновременной инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты N. Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (рис. 3), к-рые изображаются обычно в стереографич. проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографич. проекции.

Рис. 2. Простейшие операции симметрии: а - поворот: б - отражение: в - инверсия; г - скользящее отражение; д -винтовой поворот 4-го порядка.

Рис. 3. Примеры кристаллов, принадле-" жащих к разным точечным группам или кристаллографическим классам: а -к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с (один центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу 6 (одна зеркальная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии q[x₁, x₂, х₃] = x'₁, x'₂, х'₃ описываются линейными уравнениями:
[ris]

т. е. матрицей коэфф. (а_ij). Напр., при повороте вокруг х₃ на угол а = 360°/N матрица коэфф. имеет вид:
[ris]

а при отражении в плоскости x₁ , x₂, имеет вид:
[ris]

Поскольку N может быть любым, число групп G³₀ бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллич. решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), к-рые обозначаются символами: /, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси: I (она же центр симметрии ), 2 = т (она же плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому количество точечных кристаллографич. групп, описывающих внеш. форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В междунар. обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами аальфа), В(бетта), у(гамма)) в 7 сингоний кристаллографических - триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).