Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида:

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Тогда получаем:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

Делая обратную подстановку, имеем:

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

Пример. Найти общее решение уравнения .

Применяем подстановку

Произведя обратную замену, получаем:

Общее решение исходного дифференциального уравнения:

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Это уравнения вида

Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных

и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Если это уравнение проинтегрировать, и - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

Пример. Найти общее решение уравнения

Замена переменной:

1)

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:

С учетом того, что , получаем:

Общий интеграл имеет вид:

2)

Таким образом, получили два общих решения.