Уравнение плоскости в пространстве.

Вектор -отрезок, имеющий направление

Вектора называются компланарными, если принадлежат одной плоскости

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направления противоположны.

Длиной(модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы называются равными, если они лежат на одной прямой или параллельным прямых, их направления совпадают и длины равны.

Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (см. рис. 69). Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки Μ на плоскости Q векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

(12.3)

Координаты любой точки плоскости Q удовлетворяют уравнению (12.3), координаты точек, не лежащих на плоскости Q, этому уравнению не удовлетворяют (для них ).

Уравнение (12.3) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат x, y, z. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Придавая коэффициентам А, В и С уравнения (12.3) различные значения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей череp точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а уравнение (12.3) - уравнением связки плоскостей.

В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводиться к виду

Ax+By+Cz+D=0 (14)

Уравнение (14) называется общим уравнением плоскости. Коэффициенты A, B, C являются координатами вектора , перпендикулярного к плоскости, заданной уравнением (14). Он называется нормальным вектором этой плоскости и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Частные случаи

1) D=0, плоскость проходит через (0, 0, 0)

2) А=0, α ∥ Ох

3) В=0, α ∥ Оу

4) С=0, α ∥ Оz

5) А=0, В=0, α ⊥ Оz

6) A=0, C=0, α ⊥ Оy

7) C=0, B=0, α ⊥ Оx