Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца. Слова «не имеет ни начала, ни конца» говорят о том, что прямая бесконечна. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.

Угол между двумя прямыми — это угол между векторами нормали этих прямых

Угол между прямыми

Способ 1: нахождение угла между прямыми с помощью скалярного произведения векторов нормали.

Пусть две прямые и заданы общими уравнениями

и .

Так как нормальным вектором прямой является вектор , а нормальным вектором прямой является вектор , то задача об определении угла между прямыми и сводится к определению угла между векторами и .

Из определения скалярного произведения и из выражения в координатах длин векторов и и их скалярного произведения получим:

, откуда угол между прямыми = arccos .

Способ 2: нахождение угла между прямыми с помощью углового коэффициента.

Пусть две неперпендикулярные прямые и представляются уравнениями:

, тогда тангенс угла между прямыми найдется по формуле:

tg = , откуда угол между прямыми = arctg .

Если прямые и перпендикулярны, то выражение, стоящее в знаменателе

(А именно )

Обращается в ноль, т.е. и частное перестает иметь смысл, но в этом случае его нужно понимать буквально. На самом деле, всякий раз как в знаменателе появляется ноль, угол стоит считать равным ±90 градусов.

Также, если прямые перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, а значит их скалярное произведение также равняется нулю:

=0

Условия параллельности:

Две прямые, заданные уравнениями

будут параллельны, если будет выполняться условие:

_{= ,} т.е. будут равны их угловые коэффициенты, и не параллельны, если угловые коэффициенты будут не равны.

Если две прямые заданы уравнениями

, то условием их параллельности будет

− A₂ B₁ = 0,

Или в другом обозначении

= 0 (Определитель второго порядка)

Также, прямые будут параллельны, если их соответствующие координаты будут взаимно пропорциональны, то есть || , при = .