Вектора. Угол между векторами. Проекция.

Вектор определение.
Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины.

Обозначение вектора
Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB. Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина вектора
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа ||.
Нулевой вектор
Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают.
Нулевой вектор обычно обозначается как 0
Коллинеарные вектора
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Сонаправленные вектора
Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑ ↑ b
Противоположно направленные вектора
Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑ ↓ b Компланарные вектора
Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Равные вектора
Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b, если a↑ ↑ b и |a| = |b|.

Единичный вектор
Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Угол между двумя векторами
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Основное соотношение
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
Формула вычисления угла между векторами
cos α = a·b/|a|·|b|

Проекция векторов на ось
Проекцией вектора на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l.

Проекцией вектора a на направление вектора, называется число, равное величине проекции вектора a на ось проходящую через вектор.
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:
Пр ba =a · b /|b|