Собственные значения и собственные векторы

линейного преобразования

Определение. Пусть – заданное n - мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

.

При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение. Если линейное преобразование А в некотором базисе , , …, имеет матрицу , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения:

/

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

; .

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то .

или

Так как собственный вектор ненулевой, то и не равны нулю одновременно. Так как данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а и – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

Очевидно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, .Учитывая, что векторы имеют одно и то же начало, получаем, что эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Так как характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня и , то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений (В силу линейной зависимости уравнений). Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня , то либо существует только одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям и . В этом случае все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l ² - 8 l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: Для корня имеем

Из системы получаем зависимость: . Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр.

Для корня имеем

Из системы получаем зависимость: . Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр. Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

;

Корни характеристического уравнения: . Получаем:

Из системы получается зависимость: . Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр. Собственный вектор можно записать: .

Пусть - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а – компоненты этого вектора в некотором базисе , тогда

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А. Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

,

то

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид .

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня. Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования .

Составим характеристическое уравнение:

Имеем

Собственные значения:

1) Для

Если положить , то Þ .

Собственные векторы:

2) Для

Если положить то Þ .

Собственные векторы:

3) Для

Если положить то Þ .

Собственные векторы: