Положительно определенные квадратичные формы

Определение. Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если ее ранг равен положительному индексу инерции и равен числу неизвестных.

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда на любом ненулевом наборе значений переменных принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием неизвестных

,

приведена к нормальному виду

.

Для любого ненулевого набора значений переменных хотя бы одно из чисел отлично от нуля, т.е. . Необходимость теоремы доказана.

Предположим, что квадратичная форма принимает положительные значения на любом ненулевом наборе переменных, но ее положительный индекс инерции Невырожденным линейным преобразованием неизвестных

,

приведем ее к нормальному виду. Без ограничения общности можно считать, что в этом нормальном виде квадрат последней переменной либо отсутствует, либо входит в нее со знаком минус, т.е. , где или . Предположим, что – ненулевой набор значений переменных , полученный в результате решения системы линейных уравнений

В этой системе число уравнений равно числу переменных и определитель системы отличен от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение, и оно ненулевое. Для этого набора . Противоречие с условием. Приходим к противоречию с предположением, что и доказывает достаточность теоремы.

С помощью этого критерия нельзя по коэффициентам установить, положительно ли определена квадратичная форма. Ответ на такой вопрос дает другая теорема, для формулировки которой введем еще одно понятие. Главные диагональные миноры матрицы – это миноры, расположенные в ее левом верхнем углу:

, , , …, .

Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные диагональные миноры положительны.

Доказательство проведем методом полной математической индукции по числу n переменных квадратичной формы f.

Гипотеза индукции. Предположим, что для квадратичных форм с числом переменных меньшим n утверждение верно.

Рассмотрим квадратичную форму от n переменных. Соберем в одну скобку все слагаемые, содержащие . Оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму от переменных. По гипотезе индукции для нее утверждение верно.

Предположим, что квадратичная форма положительно определена. Тогда и квадратичная форма положительно определена. Если предположим, что это не так, то найдется ненулевой набор значений переменных , для которого и, соответственно, , а это противоречит тому, что квадратичная форма положительно определена. По гипотезе индукции все главные диагональные миноры квадратичной формы положительны, т.е. все первые главные миноры квадратичной формы f положительны. Последний главный минор квадратичной формы – этоопределитель ее матрицы. Этот определитель положителен, так как его знак совпадает со знаком матрицы ее нормального вида, т.е. со знаком определителя единичной матрицы.

Пусть все главные диагональные миноры квадратичной формы положительны, Тогда положительны все главные диагональные миноры квадратичной формы из равенства . По гипотезе индукции квадратичная форма положительно определена, поэтому существует невырожденное линейное преобразование переменных которое приводит форму к виду суммы квадратов новых переменных . Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех переменных полагая . Квадратичная форма этим преобразованием приводится к виду

.

Дополним до полного квадрата слагаемые с

.

Невырожденное линейное преобразование

приводит квадратичную форму к каноническому виду . Определитель матрицы этого канонического вида равен и знак совпадает со знаком определителя матрицы квадратичной формы , который положителен по условию. Из того, что следует, что положительный индекс квадратичной формы равен n, т.е. форма положительно определена.