![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Канонический вид квадратичной формы.
Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу Пусть на плоскости задан ортогональный базис Если задана квадратичная форма
2. Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей
где Геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
При переходе к новому базису от переменных
Следовательно, Выражение Теорема. (Лагранжа). Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных можно привести к каноническому виду. С помощью невырожденного линейного преобразования приведем квадратичную форму
где оставшиеся слагаемые образуют квадратичную форму приводит квадратичную форму к виду
Повторив рассуждения, с учетом того, что последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований вновь невырожденное линейное преобразование, получим утверждение теоремы. Пример. Приведите с помощью невырожденного линейного преобразования неизвестных к каноническому виду квадратичную форму Линейное преобразование равен – 2, то оно является невырожденным. Ответ: невырожденное линейное преобразование неизвестных Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее записи нет слагаемых с произведениями неизвестных, а квадраты переменных входят с коэффициентами 1 или -1 или совсем не входят. После изменения нумерации переменных нормальный вид можно переписать в виде: сначала идут коэффициенты 1, затем -1, а затем нули,
|