Элементы векторной алгебры

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры

Элементы векторной алгебры

1. Определение вектора. Линейные операции над векторами

Определение. Вектором (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется упорядоченная пара точек А, В, или направленный отрезок. Точка А называется началом вектора, точка В - его концом. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нуль-вектором.

Векторы обычно обозначаются или двумя большими буквами со стрелкой или чертой наверху, или малой буквой также со стрелкой или чертой наверху: , , , . Первая из двух букв означает начало вектора, вторая - его конец.

Определение. Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается или .

Определение. Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначение: ï ê .

Определение. Коллинеарные векторы называются одинаково (противоположно) направленными, если (в случае принадлежности разным прямым) их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, а в случае принадлежности одной прямой, если из двух лучей, определяемых этими векторами, один содержится (не содержится) в другом. Обозначение ­­ ( ­¯ ).

Определение. Два вектора и называются равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины, т.е. если ­­ , ï ï =ï ï.

Легко проверить выполнение трех аксиом отношения эквивалентности для понятия равенства векторов:

1) , 2) , 3) и .

Отложить вектор от точки М -значит построить вектор , равный вектору .

Определение. Суммой векторов называется вектор , получающийся следующим построением: от произвольной точки А (прямой, плоскости, пространства) откладываем первый вектор , равный вектору , от конца вектора откладываем второй вектор , равный вектору и т.д.: суммой является вектор, соединяющий начальную точку А с концом последнего отложенного вектора .

Обозначение:

.

Для двух векторов и указанное правило сводится к правилу треугольника, из которого следует правило параллелограмма.

Операция сложения векторов ассоциативна и коммутативна, так как при любом порядке откладывания векторов - слагаемых мы придем к тому же самому результату.

Определение. Произведением действительного ненулевого числа l на ненулевой вектор называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий следующим трем условиям:

Произведение любого вектора на нуль и нуль-вектора на любое число, по определению, есть нуль-вектор, т.е.

= , = .

Справедливы следующие свойства умножения вектора на число:

1) =l +l ; 2) = l + m ; 3) l = ,

справедливые для любых чисел и любых векторов , .