Свойства векторного произведения векторов

Определение. Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к вектору на наименьший угол виден с конца вектора осуществляющимся против (по) часовой стрелки.

Говорят также, что тройка базисных векторов имеет правую (левую) ориентацию.

Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов и называется вектор , перпендикулярный плоскости векторов и , имеющий длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и и направленный так, что тройка векторов так же ориентирована, как и тройка базисных векторов . Обозначение: .

Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю.

Теорема. Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1) 2) 3)

где - произвольные векторы.

Докажем свойства 1) и 3). При и при все части этих тождеств - нулевые векторы, т.е. тождества справедливы. Пусть . Левая и правая части тождеств 1) и 3) определяют векторы, перпендикулярные одной и той же плоскости, т.е. коллинеарные друг другу. Длины этих векторов, как площади равных или равновеликих параллелограммов, равны. Эти векторы одинаково направлены. Действительно, поворот от вектора к вектору противоположен повороту от к , а знак минус в тождестве 1) меняет направление вектора на противоположное. При направления всех векторных произведений в тождестве 3) одинаковы, а при направление каждого векторного произведения этого тождества меняется на противоположное.

Пусть - угол между неколлинеарными векторами и . Тогда

Теорема. Векторное произведение двух векторов

(4.1)

определяется формулой:

Доказательство. Из определения и свойств векторного произведения непосредственно следует, что правые части формул (4.1) можно перемножать как многочлен на многочлен, но, в отличие от скалярного произведения, со строгим соблюдением порядка следования множителей. Кроме того,

Получаем:

.

Правую часть этого равенства можно записать в виде определителя третьего порядка, в первой строке которого - базисные векторы во второй - координаты первого вектора, в третьей - второго.

Следствие. Площадь треугольника с вершинами равна половине модуля векторного произведения , т.е.

.

Векторное произведение является внутренней операцией умножения на множестве векторов в пространстве. Эта операция антикоммутативна. Оказывается, что для векторного умножения не выполняется также закон ассоциативности, так как

т.е.

Пример. Найти векторное произведение векторов

и .

Имеем ; ;

.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами

(ед²).

Пример. Доказать, что векторы , и компланарны. Имеем:

. Векторы линейно зависимы, следовательно, они компланарны.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед²).