Решение. При подключении треугольника сопротивлений к трёхфазному генератору линейные напряжения генератора равны фазным напряжениям нагрузки

При подключении треугольника сопротивлений к трёхфазному генератору линейные напряжения генератора равны фазным напряжениям нагрузки. Примем U _AB = 380 B = U _AX, тогда

U _BY = U _BC = 380× e ^{-j 120°} B, U _CZ = U _СA = 380× e ^{j 120°} B.

По закону Ома находим фазные токи треугольника

I _ax = = = 3, 8 А; I _by = = = 1, 9 × e ^{–j 210°} А;

I _cz = = = 3, 8× e ^{j 210°} А.

Линейные токи находим по I закону Кирхгофа

I _A = I _ax – I _cz = 3, 8 – 3, 8× e ^{j 210°} = 3, 8 + 3, 3 + j 1, 9 = 7, 1 + j 1, 9 = 7, 35× e ^{j 15°} А;

I _В = I _by – I _ax = -2, 3 + j 1, 34 – 3, 8 = -6, 13 + j 1, 34 = -6, 28× e ^{–j 12, 33°} А;

I _С = I _cz – I _by = -3, 3 – j 1, 9 + 2, 33 – j 1, 34 = -0, 97 – j 3, 24 = -3, 38× e ^{j 73, 33°} А.

Векторная диаграмма треугольника сопротивлений приведена на рис. 4.19, б.

Показания ваттметров

P_{W 1} = Re[ U _AB × ] = Re[ 380× ( 7, 1 – j 1, 9 )] = 2698 Вт,

P_{W 2} = Re[ U _СB × ] = Re[- 380× e ^{–j 120°}× (- 3, 38× e ^{-j 73, 33°} )] = -1250 Вт.

Активная мощность несимметричного приёмника

Р = Р_АХ + Р_ВY + Р_СZ = I_ах ²× r = 3, 8²× 100 = 1444 Вт.

Сумма показаний двух ваттметров схемы рис. 4.19, а

P_{W 1} + P_{W 2} = 2698 – 1250 = 1448 Вт = Р.

Таким образом, приведенная схема включения двух ваттметров есть схема измерения активной мощности в трёхфазной трёхпроводной цепи, а отличие в четвёртом знаке результатов есть следствие округления чисел.

ЗАДАЧА 4.17. Схема задачи 4.16 питается от симметричного источни-ка, фазы которого соединены в треугольник. Считая источник питания идеаль-ным (рис. 4.20, а), фазную ЭДС Е _АХ = 380 B, найти фазные токи генератора.

Так как внутренние сопротивления фаз трёхфазного источника питания равны нулю, то при любых токах нагрузки линейные напряжения

U _AВ = Е _АХ = 380 B, U _ВС = Е _ВY = 380× e ^{–j 120°} B, U _СА = Е _СZ = 380× e ^{j 120°} B;

что совпадает с линейными напряжениями схемы задачи 4.16, на основании расчётов которой линейные токи

I _A = 7, 1 + j 1, 9 А; I _В = -6, 13 + j 1, 34 А; I _С = -0, 97 – j 3, 24 А.

Для расчёта фазных токов генератора составим систему уравнений Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа для узлов

А) i _АВ – i _СА = i _А; В) i _ВС – i _АВ = i _В.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из фаз генератора, запишем, исходя из того, что внутреннее сопротивление фазы генератора Z любое, но для всех фаз одинаковое – симметричный генератор. Получим i _АВ × Z + i _ВС × Z + i _СА × Z = Е _АХ + Е _BY + Е _CZ.

У симметричного генератора Е _АХ + Е _BY + Е _CZ º 0, поэтому

Z × (i _АВ + i _ВС + i _СА) º 0 при любом внутреннем сопротивлении Z.

Таким образом, для расчёта фазных токов источника питания необходимо решить систему уравнений

i _АВ – i _СА = i _А;

i _ВС – i _АВ = i _В;

i _АВ + i _ВС + i _СА = 0;

откуда с учётом i _А + i _В + i _С = 0 получаем:

i _АВ = ; i _ВС = ; i _СА = .

Для рассматриваемого примера получаем:

i _АВ = = 4, 41 + j 0, 19 А, i_АВ =4, 41 А;

i _ВС = = -1, 71 + j 1, 53 А, i_ВС =2, 3 А;

i _СА = = -2, 69 – j 1, 71 А, i_СА =3, 19 А.

Отметим, что фазные токи источника питания отличаются от фазных токов нагрузки, для которой на основании задачи 4.16 получено:

I_ax = 3, 8 А; I_by = 2, 7 А; I_cz = 3, 8 А.

Векторная диаграмма токов источника питания приведена на рис.4.20, б.

Генератор симметричный, его фазные ЭДС Е_АХ = E_ВY = E_СZ = 127 B, внутреннее сопротивление фазы x = 9 Ом. Нагрузка неравномерная, причём r ₁ = 20 Ом, r ₂ = 30 Ом, r ₃ = 50 Ом. Рассчитать состояние цепи.

Решение

Преобразуем активный трёх-полюсник в эквивалентную звезду (рис. 4.22):

Е_А = E_В = E_С = = = 73, 3 B,

x_Y = = = 3 Ом.

Так же поступим и с нагрузкой. Сопротивления эквивалентной звезды

r_A = = = 10 Ом;

r_В = = = 6 Ом; r_С = = = 15 Ом.

Примем Е _А = 73, 3 B, тогда Е _В = 73, 3× e ^{–j 120°} B, Е _С = 73, 3× e ^{j 120°} B.

Узловое напряжение

U _N = = =

= -17, 05× e ^{j 61, 99°}= -8 – j 15, 05 B.

Линейные токи

I _А = = = 7, 87 – j 0, 857 A;

I _B = = = -7, 047 – j 4, 545 A;

I _C = = = -0, 829 + j 5, 397 A.

Линейное напряжение на нагрузке

U _AB = I _А × r_A – I _B × r_B = ( 7, 87 – j 0, 857 ) × 10 – ( -7, 047 – j 4, 545 ) × 6 =

= 121 + j 18, 7 = 122, 4× e ^{j 8, 79°} B.

Фазные токи осветительной нагрузки (рис. 4.21)

I _ab = = = 6, 05 + j 0, 935 = 6, 122× e ^{j 8, 79°} A;

I _ca = I _ab – I _А = 6, 05 + j 0, 935 – 7, 87 + j 0, 857 = -1, 82 + j 1, 792 = 2, 554× e ^{j 135, 44°} A;

I _bc = I _ab + I _B = 6, 05 + j 0, 935 – 7, 047 – j 4, 545 = -0, 997 – j 3, 61 = 3, 745× e ^{-j 105, 44°} A.

Линейные напряжения

U_BC = I_bc × r ₂ = 112, 4 B, U_CA = I_ca × r ₃ = 127, 7 B.

Активная мощность осветительной нагрузки и генератора

P = P_АB + P_BC + P_CA = I_ab ²× r ₁ + I_bc ²× r ₂ + I_ca ²× r ₃ =

= 6, 122²× 10 + 3, 745²× 30 + 2, 554²× 50 = 1122 Вт = 1, 122 кВт.

Фазные токи источника питания (см. задачу 4.17)

i _АХ = = 4, 972 + j 1, 229 = 5, 122× e ^{j 13, 88°} A;

i _ВY = = -2, 073 – j 3, 314 = -3, 91× e ^{j 57, 97°} A;

i _СZ = = -2, 9 + j 2, 085 = -3, 572× e ^{-j 35, 71°} A.

Реактивная мощность генератора (и всей цепи)

Q = Q_АX + Q_BY + Q_CZ = I_АX ²× x + I_BY ²× x + I_CZ ²× x =

= 9× ( 5, 122² + 3, 91² + 3, 572² ) = 488, 5 вар = 0, 4885 квар.

Полная мощность источника питания

S = = = 1, 224 кВA.

Коэффициент мощности источника питания cosj = = = 0, 917.

ЗАДАЧА 4.19. Трёхфазная цепь (рис. 4.23) подключена к симметрич-ному генератору с напряжением U = 660 B. Параметры цепи

r = wL = = 10 Ом, r ₁ = wL ₁= 5 Ом.