Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции

Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение находится в виде:

Таким образом, для решения надо определить:

1) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции u;

2) как найти эту функцию.

Если дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

т.е.

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом:

.

Рассмотрим вопрос о нахождении функции u.

Проинтегрируем равенство :

Определим функцию . Продифференцируем полученное равенство по у:

Откуда получаем:

Для нахождения функции необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако перед интегрированием необходимо доказать, что функция не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю:

Теперь определяем функцию :

.

Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:

Заметим, что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать методу, которым была получена формула.

Пример. Решить уравнение .

Проверим условие полных дифференциалов:

Условие полных дифференциалов выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Определяем функцию u.

.

Таким образом,

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

9. Дифференциальные уравнения вида и

Решение уравнений, не содержащих в одном случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме, принимая за параметр производную неизвестной функции:

Для уравнения первого типа получаем:

Делая замену, получаем:

В результате этих преобразований получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:

Исключая из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.

Для дифференциального уравнения вида с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат: