Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от :

.

Для нахождения общего решение применяют подстановку :

Дифференцируя полученное уравнение, и учитывая, что , получим:

Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:

Вообще говоря, уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.

С учетом замены , уравнение принимает вид:

Это уравнение имеет два возможных решения:

или

В первом случае

Следовательно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий.

Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:

Исключая параметр р, получаем второе решение . Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следовательно, не является частным решением.

Это решение является особым интегралом.

Рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим соответствующее ему однородное уравнение:

Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид:

Дифференцируя, получаем:

Для нахождения функции подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:

; ;

Таким образом, общее решение имеет вид:

C учетом начального условия определяем постоянный коэффициент C.

Окончательно получаем:

Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно.

Приведём график интегральной кривой уравнения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение с разделяющимися переменными Имеем:

Общий интеграл имеет вид:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем:

Общее решение имеет вид:

Найдем частное решение при заданном начальном условии :

Окончательно получаем:

Пример. Решить предыдущий пример другим способом.

Действительно, уравнение может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Находим

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Тогда

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Таким образом,

С учетом начального условия получаем

Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами, совпадают.

При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения, исходя из сложности преобразований.

Пример. Решить уравнение с начальным условием .

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение:

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

Для определения функции найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение:

Таким образом,

Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение:

верно.

Найдем частное решение при . Имеем:

Окончательно получаем

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

с начальным условием .

Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными. Имеем:

С учетом начального условия получаем:

Окончательно находим

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием .

Имеем линейное неоднородное уравнение.

Решим соответствующее ему однородное уравнение:

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Подставляя в исходное уравнение находим:

Общее решение имеет вид:

C учетом начального условия получаем:

Частное решение имеет вид:

Пример. Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием .

Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Обозначим:

Уравнение принимает вид:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Имеем:

Сделаем обратную замену:

Общее решение имеет вид:

C учетом начального условия , находим Частное решение:

Второй способ решения. Имеем:

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение:

Решение исходного уравнения ищем в виде:

Тогда

Подставляя полученные результаты в исходное уравнение, получаем:

Находим общее решение в виде:

Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием .

В этом уравнении также удобно применить замену переменных.

Уравнение принимает вид:

Делаем обратную подстановку:

Находим общее решение:

C учетом начального условия , получаем

Частное решение имеет вид:

Второй способ решения. Имеем

.

Сделаем замену переменной: Получим Имеем:

; ; ;

Общее решение имеет вид: