Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется уравнение первой степени относительно функции у и ее производных до - го порядка включительно вида:

где – функции от х или постоянные величины, причем .

Обозначим левую часть этого уравнения через :

Определение. Если , то уравнение называется линейным однороднымдифференциальным уравнением, если , то уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением, если все коэффициенты – постоянные числа, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении некоторых практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.