Линейные однородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами

Рассмотрим уравнение вида .

Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)

2)

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1) Если функция является решением уравнения, то функция , где С – постоянное число, также является его решением.

2) Если функции и являются решениями уравнения, то также является его решением.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение. Если из функций составить определитель n – го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале , то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений

,

где – постоянные коэффициенты.

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.