Математическая модель (ММ) - метод (алгоритм) - программа

Рассмотрим эти составляющие вычислительного эксперимента.

Что же такое математическая модель (ММ). При решении задач строительства мы имеем дело с реальными «нематематическими» объектами. Это задачи производственных процессов, задачи проектирования, задачи управления экономикой и др. Объектом исследования может быть как материальное тело (жидкое, абсолютно твердое, деформируемое), так и технологический процесс или процесс управления.

На первом этапе своего исследования инженеру-строителю требуется формализовать задачу, т.е. составитьее математическую модель, поскольку по своей природе математические методы можно применять не непосредственно к излучаемой действительности, а лишь к математическим моделям тех или иных явлений.

Математическая модель - это математическое описание объекта исследования с помощью хорошо изученного математического аппарата (формулы, уравнения и системы уравнений).

В своей практической деятельности инженер-строитель сталкивается с множеством вопросов, на которые трудно, а порой и невозможно получить ответ с помощью натурных экспериментов, которые обычно, к тому же, весьма дороги.

В этих ситуациях на помощь приходит особая форма изучения окружающей действительности – математическое моделирование т.е. изучение и прогнозирование поведения исследуемого объекта с помощью математического аппарата.

По словам академика АН СССР А.Н.Самарского «Сущность математического моделирования и его главное преимущество состоит в замене исходного объекта соответствующей математической моделью и в дальнейшем ее изучение (экспериментирование с нею) на ЭВМ с помощью вычислительно-логических алгоритмов» [7].

Основное требование, предъявляемое к математической модели, это адекватность изучаемому объекту или явлению.

Адекватность - это степень соответствия ММ и изучаемого объекта исследования.

Иными словами модель должна достаточно точно (в пределах допустимых погрешностей) отражать характерные черты и поведение изучаемого явления или объекта [12].

Математическая модель представляет собой компромисс между сложностью изучаемого объекта и желаемой простотой его описания. Построение модели требует глубокого знания изучаемого объекта или явления, математической культуры, развитой интуиции.

Успех решения задачи во многом зависит от верного выбора математической модели.

Рассмотрим примеры некоторых простых математических моделей.

Пример. Необходимо определить площадь поверхности стола.

Реальный объект заменяем абстрактной ММ – прямоугольником. И площадь прямоугольника (абстрактного объекта) принимается за площадь реального объекта.

Если провести более тщательные замеры, то модель «прямоугольника» придется отвергнуть и заменить ее либо «четырехугольником», либо какой-то замкнутой поверхностью.

Этот постой пример уже позволяет сделать некоторые выводы:

· Математическая модель не определяется однозначно. Для одного и того же объекта исследования можно выбрать ту или иную ММ.

· Выбор ММ определяется требованием точности.

· С повышением точности приходится усложнять модель.

Рассмотрим еще один пример математической модели из строительной практики.

Пример. Задача об изгибе горизонтальной балки длиной L, лежащей на двух опорах х=0 и х=L под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью q=q(x).

Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб балки у приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению

,

где EI(x) – жесткость балки при изгибе.

Добавив условия закрепления балки на концах, получим математическую модель в виде краевой задачи.

В настоящее время построены математические модели и для описания задач экономики, социологии, медицины и др.

Вопрос применимости той или иной ММ к изучению рассматриваемого объекта решается в процессе практики (критерий практики).

Сравнивают различные ММ и выбирают из них ту, которая является наиболее простой и адекватно описывающей изучаемый объект с достаточной для практики точностью.

В качестве ММ широко используются всевозможные уравнения (нелинейные, дифференциальные, интегральные и т.д.), системы описанных выше уравнений, а также неравенства и системы неравенств.

Только после построения ММ можно воспользоваться математическими методами для ее изучения и решения.