Численные методы.

Таким образом, с помощью математического моделирования решение строительных задач может быть сведено к решению математических задач, для решения которых могут быть использованы такие группы методов, как аналитические и численные.

Аналитические методы (их еще иногда называют «точными») позволяют выразить решение в виде формул.

Построенная математическая модель в редких случаях допускает аналитическое решение.

Тогда на помощь приходят численные методы во всем их многообразии.

Численные методы и их реализация на ЭВМ составляют содержание огромного раздела современной математики – «Вычислительная математика

Численные методы (ЧМ) – это методы решения математической задачи, сводящиеся к конечному числу арифметических и некоторых логических действий над числами, то есть к тем действиям, которые может выполнить ЭВМ.

При использовании ЧМ стремятся найти какой-либо процесс, чаще всего бесконечный, сходящийся к искомому ответу. В результате получается приближенное решение задачи, так как выполняется конечное число шагов, и вычисления обрываются. Такой подход был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости вычислений.

Применение численных методов на базе ЭВМ позволяет решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Это расчет пространственных сооружений, структурных конструкций, которые широко применяются в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.

Дискретизация. Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек (узлов) x_i, Это множество называется сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой):

W _n { x₀=a, x_i = x_{i -1} +h (i = 1, 2, ….n- 1), x_n=b, h = (b-a)/n },

где x_i, –узлы сетки (i= 0, 1, 2, ….n),

h – шаг сеточной области.

А заданная непрерывная на [ a, b ] функция y=y(x) заменяется функцией дискретного аргумента y_i = f(x_i), (i= 0, 1, 2, ….n)на этой сеточной области (т.е. таблицей). Так заданная функция называется сеточной [3, 12].

Если исходная математическая задача формулируется в виде дифференциального уравнения или системы таких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого параметра дискретизации (например, шага сетки h), при стремлении которого к нулю число узлов сетки x_i, (i= 0, 1, 2, ….n) неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирается какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи.

Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел { x_i , y_i }, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько численных методов. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор численного метода делается на основе знания его характеристик, таких как универсальность, экономичность, устойчивость, простота. И выбирая тот или иной численный метод, надо помнить, что уровень точности метода должен быть адекватен точности модели.

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Их следует применять в комбинации.