Матрицы и векторы.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (размерность m ´ n), Обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной

Если m = 1, это матрица-строка (вектор-строка);

Две матрицы и равны друг другу, если они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [ m ´ n ]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: для всех i и j.

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец или вектор. Будем особо выделять вектор и обозначать его следующим образом :

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов стоящих на главной диагонали, называется диагональной:

A

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:

E

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается А ^т).

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам - определитель (det A). Например, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

Алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду приведен во второй главе.

Если определитель матрицы det A=0, то матрица называется вырожденной, и невырожденной впротивном случае.

Эквивалентны следующие высказывания: матрица А является невырожденной, если:

· столбцы (строки) матрицы А линейно независимы;

· равенство , означает, что ;

Обратная матрица. Доказывается теорема, что если матрица А невырожденная (det A ≠ 0), то она имеет обратную матрицу (обозначается А ^-1).

Матрица называется обратной по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

А А ^-1= А ^-1 А = Е (1.6)

Процесс нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы.