Метод хорд. Пусть функция y=f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е

Пусть функция y=f(x) на отрезке [ a, b ] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение f(x)=0 имеет на этом отрезке единственный корень x ^*.

Положим для определенности f ^’’(x)> 0 (рис.2.6). Вместо деления отрезка пополам, разделим его в отношении f(a): f(b).

С геометрической точки зрения способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки A[a, f(a)] и B[b, f(b)].

Для построения итерационной последовательности по методу хорд необходимо выбрать начальное приближение (нулевую итерацию) х _0.

Если функция y=f(x) имеет 2-ую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то начальное приближение х₀ выбирается, исходя из условия:

f(x₀) f ”(x₀) < 0. (2.11)

Рассмотрим два случая, каждый из которых определен видом функции y = f(x) на отрезке [a, b].

Первый случай. Полагаем f(а)> 0, f(b)< 0 и f ^’’ (x)> 0 для xÎ [a, b] (рис.2.6).

1. В качестве нулевого приближения корня выбирается тот конец отрезка [a, b], для которого выполняется условие (2.11), т.е выбираемправый конец отрезка [a, b], х ₀ =b.

2. Проводим хорду АВ ₀ и за первое приближение (первую итерацию) х₁ принимаем абсциссу точки пересечения хорды с осью ОХ.

3. Второе приближение х ₂ получаем как абсциссу точки пересечения хорды АВ ₁ с осью ОХ.

4. Аналогичным образом строим итерационную последовательность:

х ₀ =b, x ₁, x ₂, ……., x_n, ….

В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения х ^* (2.1).

Для получения формулы (n+1)-ой итерации х_n+1 запишем уравнение хорды AB_n:

Полагая х=x_{n+ 1} и y = 0 найдем абсциссу точки пересечения хорды AB_n с осью ОХ, т.е. (n+1)- ю итерацию х_n+1.

Рис.2.6. Схема метода хорд (1-й случай)

В этом случае левый конец отрезка [ a, b ] неподвижен и последовательные приближения (итерации) определяются по формуле:

(2.13)

Второй случай. Полагаем f(а)< 0, f(b)> 0 и f ^’’ (x)> 0 для x Î [ a, b ] (рис.2.7).

В качестве нулевого приближения корня выбираем тот конец отрезка [a, b], для которого справедливо условие (2.11).

Для данного случаявыбирается левый конец отрезка [a, b], т.е. х ₀ = а, а в качестве неподвижного конца: х = b.

Аналогично первому случаю строим последовательность приближений, сходящуюся к точному решению х ^* уравнения (2.1) и определяемую следующим соотношением:

(2.14)

Рис.2.7. Схема метода хорд (2-й случай)

Таким же образом рассматриваются еще два случая, когда вторая производная отрицательна, т.е. f ^’’ (x)< 0 на отрезке [ a, b ].

Следующая теорема обобщает все четыре случая для приближенного решения нелинейного уравнения (2.1) по методу хорд.