Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Ньютона (метод касательных)
|
|
Пусть уравнение (2.1): f (x)=0 на отрезке [a, b] имеет единственный корень, причем производные f ’ (x) и f ’’ (x) непрерывны и сохраняют определенные знаки на этом отрезке.
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой (рис.2.8).
Положим для определенности f ’’ (x) > 0 для xÎ [a, b] и f(b)> 0.
1. Для построения итерационной последовательности по методу касательных выберем начальное приближение (нулевую итерацию) x0=b . исходя из условия
f(x0) f ’’ (x) > 0 (2.15)
2. Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B0 [ x0, f (x0) ].
3. В качестве первого приближения корня х 1 возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ.
Рис.2.8. Схема метода касательных
4. Через точку B1 [ x1, f (x1) ] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х 2 .
Аналогичным образом строим итерационную последовательность:
х 0 =b, x 1, x 2, ……., xn, ….
В математическом анализе доказывается теорема, что эта итерационная последовательность сходится к точному решению х * уравнения (2.1).
Для получения (n+1)- ой итерации хn+1 запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке Bn [ xn, f(xn) ] (n= 0, 1, 2, ….)
y – f (xn) = f ’ (xn) (x - xn).
Полагая y= 0, x=xn+ 1, получим формулу для построения последовательности приближений корня уравнения (2.1):
(2.16)
Если в нашем случае положить x0=а, т.е. условие (2.15) не выполняется, то, проведя касательную к кривой y=f(x) в точке (a, f(a)), мы получили бы точку х (рис.2.8), лежащую вне отрезка [ a, b ]. Выбранное таким образом начальное приближение оказывается непрактичным. В данном случае «хорошим» начальным приближением х 0 является то, для которого выполняется условие (2.15).
В математическом анализе доказывается теорема, обобщающая это правило.
| Теорема 2.3. Пусть функция y=f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет условиям теорем 2.1, т.е. уравнение (2.1) имеет на этом отрезке единственный корень. Если функция y=f(x) имеет вторую производную, сохраняющую знак на этом отрезке, то исходя из начального приближения х0 , удовлетворяющего условию (2.15) можно вычислить корень уравнения (2.1) с заданной точностью e по формуле (2.16). |
Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ.
G Замечания.
1. Из формулы (2.16) видно, что чем больше значения f ’(x) в окрестности корня х * , тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n -му приближению, чтобы получить (n +1)–е приближение. Поэтому метод касательных особенно удобно применять тогда, когда график функции y=f(x) имеет большую кривизну в окрестности корня соответствующего уравнения, т.е. круто меняет свое значение.
2. С другой стороны, если значения производной f ’(x) в окрестности корня х * малы, т.е. функция достаточно пологая, то поправки будут велики и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным.
3. Следовательно, если кривая y=f(x) вблизи точки пересечения с осью ОХ почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f(x) =0 не рекомендуется.