Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения MS Excel
|
|
n Пример 2.3. Найти корни уравнения
x - tg (x)= 0. (2.18)
Первый этап решения (этап отделения корней) был реализован в разделе 2.1 (пример 2.2). Искомый корень уравнения находится на отрезке x Î [4; 4, 5], что и видно на графике (рис. 2.9).
Рис.2.9. Этап отделения корней
Этап уточнения корня реализуем средствами Excel. Продемонстрируем это на примере метода половинного деления. Схемы расчетов для методов касательных и хорд мало чем отличаются от приведенной ниже схемы.
Последовательность действий:
1. Подготовим таблицу, как показано на рис.2.10 и введем значения a, b, ε соответственно в ячейки В3, В4, В5.
2. Заполним первую строку таблицы:
• D4=0 номер итерации;
• Е4=В3, F4=B4, для вычисления f(a): G4=E4-TAN(E4),
• аналогично, в ячейки H4, I4, J4 введем формулы для вычисления соответственно f (b), xn =(a+b)/2 и f (xn);
• в ячейке К4 вычислим длину отрезка [ a, b ]: K4=ABS(E4-F4).
3. D5=D4+1, для формирования номера итерации.
4. В ячейки E5, F5 введем формулы для формирования концов вложенных отрезков в соответствии с алгоритмом, изложенным в разделе 2.2.1:
• E5=ЕСЛИ(J4*H4< 0; I4; E4);
• F5=ЕСЛИ(J4*H4> 0; I4; F4).
5. Выделим ячейки G4: K4 и скопируем их вниз на одну строку.
6. Выделим ячейки D5: K5 и скопируем их вниз до конца таблицы.
Рис.2.10. Схема решения нелинейного уравнения методом бисекции
Деление отрезков продолжаем до тех пор, пока длина последнего не станет меньше заданного ε, т.е. до тех пор, пока не выполнится условие 
.
Чтобы сделать наглядным окончание итерационного процесса, воспользуемся Условным форматированием
Условное форматирование – это форматирование выделенных ячеек на основе некоторого критерия, в результате чего произойдет цветовое оформление ячеек, содержимое которых удовлетворяет заданному условию (в нашем случае ).
Для этого выполним следующие действия:
• выделим ячейки последнего столбца (К) расчетной схемы (рис.2.10), где будет задаваться критерий окончания итерационного процесса;
• выполним команду
Главная\Стили\ Условное форматирование;
Рис.2.11. Окно у словного форматирования
• в появившемся окне (рис.2.11) выберем строку:
Правила выделения ячеек \ Меньше;
• в левой части появившегося диалогового окна Меньше (рис.2.12) зададим значение, которое будем использовано в качестве критерия (в нашем примере это адрес ячейки B5, где находится значение ε).
Рис.2.12. Диалоговое окно Меньше
• в правой части окна Меньше выберем цвет, которым будут окрашены ячейки, отвечающие заданному условию; и нажмем кнопку ОК.
В результате такого форматирования ячейки столбца К, значения которых меньше 0.1, тонированы, рис.2.10.
Таким образом, за приближенное значение корня уравнения x- tg (x)= 0 с точностью e=0.1принимается 3-я итерация, т.е. x*»4.46875. Для e=0.01 - x*» 4.49609 (6-я итерация).
2.3.1. Решение нелинейных уравнений с использованием надстройки «Подбор параметра»
Решение нелинейных уравнений можно реализовать в приложении MS Excel с использованием надстройки Подбор параметра, где реализуется некоторый итерационный процесс.
Найдем корни рассмотренного выше уравнения (2.18).
За нулевое приближение решения уравнения, как это видно из рис.2.13, можно принять х 0 =4 или х 0 =4, 5.
Последовательность действий
1. Подготовим таблицу, как показано на рис.2.13. В ячейку А2 введем некоторое значение х0 (например х 0 =4) из ОДЗ функции y=f(x). Это будет начальным приближением для итерационного процесса, реализуемого приложением Подбор параметра.
2. Ячейка В2 является изменяемой ячейкой в процессе работы надстройки. Введем в нее это значение х0, а в ячейке С3 вычислим значение функции f(xn) для этого приближения.
3. Выберем команду:
Данные \ Работа с данными \ Анализ «что-если»\ Подбор параметра.
4. В окне «Подбор параметра»сделаем установки, как показано на рис.2.13 и нажмем кнопку ОК.
Рис.2.13. Решение нелинейного уравнения с помощью надстройки «Подбор параметра»
Если все было проделано правильно, то в ячейке В2 (рис.2.13) будет получено приближенное значение корня нашего уравнения.
Проделайте все эти операции ещё раз с другим значением начального приближения, например х0 =4, 5.
Контрольные вопросы
1. Какое уравнение называется нелинейным. Что является решением нелинейного уравнения.
2. Геометрическая интерпретация решения нелинейного уравнения.
3. Методы решения нелинейного уравнения (прямые и итерационные), в чем разница.
4. Два этапа численного решения нелинейного уравнения. Какие задачи ставятся на первом и втором этапах.
5. Первый этап решения нелинейного уравнения. Как выбирается нулевое приближение (нулевая итерация).
6. Построение итерационной последовательности. Понятие сходимости итерационной последовательности. Нахождение приближенного значения корня нелинейного уравнения с точностью ε.
7. Геометрическая интерпретация численных методов решения нелинейного уравнения: половинного деления, Ньютона (касательных), хорд.
Глава 3.