Второй этап. Этап уточнения корня

Iteration (итерация)- повторение, ре-зультат повторного применения какой-либо математической операции.

Этап уточнения корня заключается в построении последовательности приближенных значений (итераций) корня уравнения (2.1), исходя из начального приближения корня x ₀ (нулевой итерации).

Эта последовательность

x₀, x₁, x₂, ……x_n …. (2.4)

называется итерационной последовательностью.

Если существует предел этой последовательности, т.е.

, (2.5)

то говорят, что итерационный процесс (2.4) сходится и сходится к точному решению уравнения x ^* [2].

На практике итерационный процесс ограничивают конечным числом шагов (итераций) n. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.

Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции y=f(x) в окрестности корня.

1. Если функция достаточно «пологая», то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие:

(2.6)

2. Если функция у=f(x) «круто» меняет свои значения, целесообразно использовать условие:

(2.7)

Если условие (2.6) или (2.7) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (2.1) с заданной точностью e принимают n -ю итерацию т.е.

.

Если ни одно из этих условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Рассмотрим несколько итерационных (приближенных) методов решения нелинейных уравнений. Выбор того или иного метода зависит от вида функции y = f(x).