Обратный ход

Из последнего уравнения (3-я строка матрицы) получаем

Из 2-го уравнения находим

Из 1-го уравнения получаем

Таким образом, полученное решение имеет вид

Решение этого примера с использованием электронных таблиц Excel приведено в разделе 3.6.1.

В процессе решения системы возможны три случая:

1) Решение системы существует и является единственным, когда матрица коэффициентов невырожденная (при этом на последнем шаге решения получается одно уравнение с одним неизвестным).

2) Система уравнений вообще не имеет решений (такой случай имеет место, когда на некотором шаге получается строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю).

3) Система уравнений имеет бесконечное множество решений (это получается, когда на некотором шаге в системе получается строка, в которой все коэффициенты и свободный член равны нулю).

G При практическом применении метода Гаусса следует обратить внимание на следующие моменты:

1. Если в ходе приведения матрицы А к треугольному виду на главной диагонали окажется элемент, равный нулю, эта схема расчета формально непригодна, хотя система может иметь единственное решение.

2. В процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые малы по сравнению с другими элементами соответствующих строк. Это обстоятельство может привести к значительным ошибкам округления.

Чтобы избежать всего этого, каждый цикл (шаг) следует начинать с перестановки строк, в результате которой ненулевой элемент перемещается на главную диагональ. При этом среди элементов столбца находится главный элемент, то есть максимальный по модулю в соответствующем столбце, который и выводится на главную диагональ. В таком варианте метода погрешности обычно невелики. Такую модификацию метода называют методом Гаусса с выбором главного элемента.