Метод Якоби (простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

или в матричной форме

Для сходимости итерационного процесса, необходимо выполнения условия «преобладания диагональных элементов», т.е. диагональные элементы матрицы А должны удовлетворять условию:

Преобразуем систему (3.10) к эквивалентной, выражая неизвестное из каждого i -го уравнения:

Система (3.13) называется системой, приведенной к нормальному виду.

Вводя обозначения

систему (3.13) можно записать в матричной форме

где

Используя выражение (3.14), строим последовательность приближений (итераций), выбрав в качестве нулевого приближения, например, нулевой вектор или столбец свободных членов:

Таким образом, получили последовательность приближений (итераций):

Если эта последовательность имеет предел

то он является точным решением системы (3.11).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

Если условие (3.18) выполнено, то итерационный процесс прекращается. За приближенное решение системы (3.11) с заданной точностью e принимается (k)-е приближение, т.е.

.

Если условие (3.18) не выполняется, то итерационный процесс (3.17) необходимо продолжить до тех пор, пока условие не выполнится.

G За м е ч а н и я:

1. Начальный вектор может быть взят произвольным, так как сходимость итерационного процесса зависит только от свойств матрицы a, и если процесс сходится при каком-нибудь начальном приближении, то он будет сходиться к тому же предельному вектору и при любом другом выборе этого начального приближения.

2. Сходящийся процесс итерации обладает важным свойством самоисправляемости, т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так что ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальный вектор.

n Пример 3.2. Методом Якоби решить систему линейных алгебраических уравнений:

Решение: Условие преобладания диагональных коэффициентов матрицы системы выполнено. Приведем эту систему к нормальному виду:

В матричной форме систему (3.20) можно записать так:

За начальное (нулевое) приближение решения системы примем нулевой вектор, т.е.

Подставляя эти значения в правые части уравнения (3.20), получим первое приближение решения системы (первую итерацию):

Далее, подставляя это найденное приближение в систему (3.20), получим 2-ое приближение решения системы:

После новой подстановки будем иметь 3-е приближение:

Аналогично получим 4-ую итерацию:

Проверим выполнение условия «близости» двух итераций, т.е. условие (3.18):

Таким образом, за приближенное решение системы (3.19) с точностью ε =0, 1 принимаем 4-ю итерацию

Чтобы получить решение СЛАУ (3.19) с точностью ε =0, 001, потребуется 8 итераций. Точное решение: х ₁ = 1; х ₂ = 2; х ₃ = 1.

Решение данного примера с использованием электронных таблиц Excel приведено в разделе 3.6.3.

3.3.2. Метод Гаусса – Зейделя.

Метод представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (k +1)-й итерации неизвестное вычисляется с учетом уже найденных: .

Проиллюстрируем метод для n =3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

Выбираем произвольное начальное приближение

и подставляем в 1-ое уравнение системы (3.22):

Полученное 1-ое приближение подставляем во 2-ое уравнение системы (3.22)

Используя , находим из 3-го уравнения

Этим заканчивается построение 1-ой итерации

Используя значения , можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k +1) можно представить следующим образом:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости может быть задан условием (3.18) и если оно выполняется, то за приближенное решение системы (3.22) с точностью принимается (k +1)-я итерация, т.е.

n Пример 3.3. Методом Гаусса – Зейделя решить ту же самую систему (3.19), которую решали методом Якоби.

Система, приведенная к нормальному виду:

В качестве нулевого приближения возьмем вектор свободных членов :

Применяя алгоритм Гаусса-Зейделя, последовательно получим

и т.д.

Точное решение этой системы имеет вид: х ₁ = 1; х ₂ = 2; х ₃ = 1.

Расчетная схема метода Гаусса-Зейделя с использованием электронных таблиц Excel аналогичнарасчетной схеме метода Якоби, приведенной в разделе 3.6.1.