Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Условия сходимости итерационного процесса
|
|
Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению.
Доказывается теорема [2], что, если хотя бы одна из норм матрицы нормальной системы (3.14) меньше единицы, то итерационный процесс сходится к единственному решению. Т.е. изложенные выше итерационные методы можно использовать для систем, удовлетворяющих одному из следующих условий [6]:
А для системы (3.11) итерационный процесс сходится, если элементы матрицы А удовлетворяют условию (3.12) т.е. матрица А является матрицей «с преобладанием диагональных элементов».
n Пример 3.4. Показать, что для системы (3.19) примера 3.2 итерационный процесс является сходящимся.
Решение. Матрица системы, приведенной к нормальному виду (3.20), имеет вид:
Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы a:
Достаточное условие сходимости (3.25) итерационного процесса выполнено.
Таким образом, теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты заданной системы уравнений 
Однако, если det A¹ 0, то с помощью конечного числа элементарных преобразований исходную систему всегда можно привести к эквивалентной такой, что условия сходимости (3.18) будут выполнены.
n Пример 3.5. Привести систему к виду, пригодному для использования итерационных методов решения:
Решение:
1) В уравнении (В) коэффициент при х 2 по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (В) за 2-е уравнение новой системы:
2, 5 x 1 + 7 x 2 - x 3 = 3, 5;
2) Из оставшихся неиспользованных уравнений системы составляем линейно независимые между собой комбинации. За 1-е уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2С) + (А):
10 х 1 - х 2 + 2 х 3 = 0;
3) За 3-е уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А) – (В), т.е.
– 0, 5 х 1 – х 2 – 7 х 3 =2, 5;
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную исходной, но «с преобладанием диагональных элементов»:
