Виды равновесия

В механике различают три состояния равновесия: безразличного равновесия, устойчивого и неустойчивого равновесия.

Безразличное равновесие - при малом отклонении тело остается в равновесии. Пример - катящееся по горизонтальной поверхности колесо. Если колесо остановить в любой точке, оно окажется в равновесном состоянии. Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия (рисунок).

Неустойчивое равновесие - при малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, - пример неустойчивого равновесия.

Устойчивое равновесие - если при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесное состояние. Шар, находящийся на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.

Рисунок
Различные виды равновесия шара на опоре.
(1) - безразличное равновесие,
(2) - неустойчивое равновесие,
(3) - устойчивое равновесие

В неустойчивых системах при малом отклонениях тела от положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение. Атом является неустойчивой системой, т.е при малейшем отклонении электрона вращающегося вокруг протона (увеличение или уменьшение расстояния между протоном и электроном) центростремительные силы увеличивают это отклонение (подробнее см. Википедию).

Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Равновесие тела называют устойчивым, если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.

Равновесие тела называют неустойчивым, если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.

Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).

Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.

Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2, 1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2, 2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2, 3), то положение равновесия безразличное

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.

На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.

23Момент силы относительно точки и оси

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке.

Если известен радиус-вектор r⃗ r→ точки приложения силы F⃗ F→ относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:

M⃗ O(F⃗)=r⃗ × F⃗.M→ O(F→)=r→ × F→.

Действительно, модуль этого векторного произведения:

|M⃗ O|=|r⃗ × F⃗ |=|r⃗ ||F⃗ |sinα.|M→ O|=|r→ × F→ |=|r→ ||F→ |sin⁡ α.

В соответствии с рисунком |r⃗ |sinα =h|r→ |sin⁡ α =h, поэтому:

|M⃗ O|=|F⃗ |h.|M→ O|=|F→ |h.

Вектор M⃗ OM→ O, как и результат векторного произведения, перпендикулярен векторам r⃗ r→ и F⃗ F→, которые принадлежат плоскости Π Π. Направление вектора M⃗ OM→ O таково, что глядя по направлению этого вектора, кратчайшее вращение от r⃗ r→ к F⃗ F→ происходит по часовой стрелке. Другими словами, вектор M⃗ OM→ O достраивает систему векторов (r⃗, F⃗)(r→, F→) до правой тройки.

Зная координаты точки приложения силы в системе координат, начало которой совпадает с точкой О, и проекцию силы на эти оси координат, момент силы может быть определен следующим образом:

M⃗ O=r⃗ × F⃗ =⎛ ⎝ ⎜ i⃗ xFxj⃗ yFyk⃗ zFz⎞ ⎠ ⎟ =(yFz− zFy)i⃗ +(zFx− xFz)j⃗ +(xFy− yFx)k⃗.M→ O=r→ × F→ =(i→ j→ k→ xyzFxFyFz)=(yFz− zFy)i→ +(zFx− xFz)j→ +(xFy− yFx)k→.