Приклад 2. Тонкий стержень масою і завдовжки обертається з кутовою швидкістю у горизонтальній площині навколо вертикальної осі

Тонкий стержень масою і завдовжки обертається з кутовою швидкістю у горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через середину стержня. Продовжуючи обертатись у тій самій площині, стержень переміщується так, що вісь обертання тепер проходить через кінець стержня. Знайти момент інерції і кутову швидкість після переміщення стержня.

Дано:

Розв’язування

Скористаємось законом збереження моменту імпульсу , де – момент інерції стержня відносно осі обертання; – кутова швидкість стержня.

Для ізольованої системи тіл момент імпульсу залишається величиною сталою. У цій задачі внаслідок зміни розподілу маси стержня відносно осі обертання момент інерції також змінюється:

.

Момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через центр мас і перпендикулярна до стержня (перший стан), визначається за формулою

.

За теоремою Штейнера , де – момент інерції стержня відносно будь-якої осі обертання; – момент інерції стержня відносно паралельної осі, яка проходить через центр мас стержня; – відстань від центра мас стержня до осі обертання.

Знайдемо момент інерції стержня відносно осі, яка проходить через його кінець і перпендикулярна до нього (після переміщення стержня):

.

Після підстановки числових значень, отримаємо:

.

Підставимо вирази моментів інерції і у формулу закону збереження моменту імпульсу:

,

звідки ; .

Після підстановки числових значень в отриману формулу, отримаємо: .

Відповідь: ; .