Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонійних коливаннях визначаються рівняннями:

х = А cos (w t + j₀),

υ = A w sin (wt + j₀),

a = A w²cos (wt + j₀) = - w² x,

де А – амплітуда коливань;

w – циклічна частота;

j₀ – початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

w = = 2 p n.

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіпружна сила):

F = ma = - m w² x = - k x,

де k = mw² – коефіцієнт квазіпружної сили, який вимірюється силою, що викликає зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

,

.

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник:

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

б) пружинний маятник:

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

в) фізичний маятник:

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

де І – момент інерції маятника відносно осі коливань;

l – відстань від осі коливань до центра мас маятника;

– зведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w₀.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j₀ визначаються рівняннями:

,

tq j₀ = ,

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що складаються;

j₁ і j₂ – початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w₁ » w₂) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

x = cos ,

де – амплітуда биття.

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

T_б = , звідки T_б = .

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

cos(j₂ - j₁) = sin² (j₂ - j₁),

де А₁ і А₂ – амплітуди коливань, що додаються;

j₂ - j₁ – різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння згасаючих коливань:

0

або

де b = – коефіцієнт згасання;

r – коефіцієнт опору середовища;

– квадрат власної циклічної частоти коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для згасаючих коливань має вигляд:

x = A₀e^-bt cos (wt + a),

де А₀е^-bt – амплітуда згасаючих коливань;

w – циклічна частота згасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди згасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом згасання:

δ = ln ,

де δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

Т – період згасаючих коливань.

12. Циклічна частота згасаючих коливань:

w = або w = .

13. Період згасаючих коливань:

T = або Т = .

14. Добротність коливальних систем:

q = 2p або q = ,

де W_t – повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW_{(t=T )} – втрати енергії коливальної системи за один період;

δ – логарифмічний декремент згасання;

b – коефіцієнт згасання;

w₀ – власна циклічна частота коливань;

Т – період згасаючих коливань (при малих згасаннях Т» Т₀).

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань:

або

,

де F₀ – вимушувальна сила;

w – циклічна частота вимушених коливань.

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушувальної сили має вигляд:

x = A cos (wt + a),

де А – амплітуда вимушених коливань;

a – зсув за фазою вимушених коливань і вимушувальної сили.

17. Амплітуда вимушених коливань:

A = ,

де f₀ = ;

w₀ – власна частота коливань системи;

w – циклічна частота вимушувальної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

tga = - .

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

w_рез = ;

А_рез = .

МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ