Приклад 2. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0

Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань w = 4 c^-1. В момент часу t = 0 координати частинки х₀ = 25, 0 см, а її швидкість υ = 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2, 40 с.

Дано:

w = 4 с^-1

х₀ = 25, 0 см

υ = 100, 0 см/с

t = 2, 40 с

х –? υ –?

Розв’язування

Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

x = A cos (w t + j). (1)

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

υ = - A w sin (w t + j). (2)

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х₀ і υ ₀:

x₀ = A cos j i υ ₀ = - Aw sin j. (3)

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

=1, звідки А = ;

cos j = , звідки j = arc cos .

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35, 5 cм,

j = arc cos .

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

x = 35, 5 cos (4 × 2, 40 + p/4) = - 20, 2 см,

υ = - 35, 5 × 4sin (4 × 2, 40 + p/4) = 115, 7 см/с.

Відповідь: х = - 20, 2 см; υ = 115, 7 см/с.