Визначення одномонотонних (протилежно монотонних) наборів чисел

Визначення 1 Нехай за певним законом кожному натуральному числу n ставиться у відповідність деяке дійсне число . Множина дійсних чисел розташованих у порядку зростання номерів, називається числовою послідовністю, яку будемо позначати так: .

Визначення 2 Послідовність чисел називається зростаючою, якщо мають місце нерівності .. Коли знаки нерівностей не строгі, то послідовність називається не спадною.

Визначення 3 Послідовність чисел називається спадною, якщо мають місце нерівності .. Коли знаки нерівностей не строгі, то послідовність називається не зростаючою.

Визначення 4 Дві скінченні послідовності називають одномонотонними, якщо вони обидві не зростаючі, або обидві не спадні. Критерій одномонотонності послідовностей: для будь-яких , , виконується нерівність .

Визначення 5 Дві скінченні послідовності називають протилежно монотонними, якщо одна з них не зростаюча, або інша - не спадна. Критерій для протилежно монотонних послідовностей: для будь-яких , , виконується нерівність .

У роботі використано таке позначення суми добутків членів двох послідовностей

(наборів чисел): . Позначення відображає суттєву залежність числа від двох числових послідовностей, на базі яких його створили, а використання цього позначення при доведенні нерівностей дозволяє компактно і зрозуміло записувати доведення.