Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Нерівність Чебишова і її наслідки
Розглянемо дві одномонотонні послідовності і . Для цих послідовностей запишемо n перерозміщувальних нерівностей: 1. ; 2. ; 3. ; ............................................................................... n. Додамо почленно усі n нерівностей і отримаємо нову нерівність . Ця нерівність називається нерівністю П.Л. Чебишова, який її довів і використав у своїх наукових працях. Якщо розглядати протилежно монотонні послідовності, то у нерівності Чебишова треба змінити знак нерівності на протилежний. Отже, якщо і - протилежно монотонні послідовності, то має місце нерівність . Приклад 11. Довести нерівність , де а, b, c – додатні дійсні числа. Розв’язання. Розглянемо дві числові послідовності і . Це одномонотонні послідовності, тому запишемо для них нерівність Чебишова . Виконавши тотожні перетворення останньої нерівності, отримаємо нерівність, , яку треба було довести. Приклад 12. Нехай - довільні дійсні числа. Довести, що . Розв’язання. Запишемо нерівність Чебишова для двох одномонотонних послідовностей і і отримаємо нерівність , що треба було довести. Приклад 13. Нехай - додатні дійсні числа. Довести, що . Розв’язання. Розглянемо одномонотонні послідовності і . Запишемо для цих послідовностей нерівність Чебишова: , або , звідки, помноживши обидві частини на -1, отримаємо вірну нерівність: . Приклад 14. Нехай - додатні дійсні числа. Довести, що . Розв’язання. 1. Виконаємо тотожні перетворення даної нерівності:
. 2. За нерівністю Чебишова маємо . 3. За нерівністю Чебишова запишемо таку нерівність
|