Матрицы и их виды, действия над матрицами

Элементы линейной и векторной алгебры

Матрицы и их виды, действия над матрицами

Матрицей размерности m на n (m ´ n) называется прямоугольная таблица чисел или буквенных обозначений, содержащая m строк (горизонтальных рядов) и n столбцов (вертикальных рядов) одина­ковой длины. Матрица записывается в виде

А = .

Сокращенно матрицу A _{m ´ n} можно представить как

,

где (т. е. – номер строки;

(т. е. – номер столбца;

– элементы матрицы.

Матрицы А и В называются равными, если равны все соответ­ствующие элементы этих матриц, т. е. , где

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей n-го порядка.

Элементы квадратной матрицы , для которых номера строк и столбцов совпадают (i=j), образуют ее главную диагональ. Другая диагональ матрицы называется побочной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается

Например,

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается E:

E = .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к дан­ной, и обозначается .

Например, транспонированной к является матрица

.

Сложение и вычитание матриц. Операция сложения и вычитания матриц вводится только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц называется матрица такая, что

Например, .

Разностью двух матриц называется матрица такая, что

Например, .

Умножение матрицы на число. Данная операцияопределена для матриц любой размерности.

Произведением матрицы на число l называется матрица такая, что

Например,

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами (А, В, С – матрицы, – числа):

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)

Пример 1. Даны матрицы А = ; B = . Найти

2А + В.

Решение. 1) 2А= ; 2) 2А + В = .

Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что

,

где т. е. элемент i -й строки и k -гo столбца результирующей матрицы Сравен сумме произведений элементов i -й строки матрицы Ана соответствующие элементы k -гo столбца мат­рицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведе­ния А× В и В× А всегда существуют.

Легко показать, что где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Например, для матриц и произведение не определено, так как число столбцов матрицы А равно трем. Оно не совпадает с числом строк матрицы В, равным двум, но при этом определено произведение , которое вычисляют следующим образом:

Если для заданных матриц операция умножения определена, то справедливы следующие свойства:

1) 2) 3)

Пример 2. Дана матрица А= . Найти А³.

Решение. Найдем квадрат матрицы A, т. е. произведение А× А:

А² =А× А= = .

Найдем куб матрицы A³, для этого перемножим A на A², получим A³= = .