Понятие систем линейных уравнений

– неизвестные системы;

.

Если ввести следующие обозначения:

– матрица коэффициентов;

– вектор-столбец из неизвестных ;

– вектор-столбец из свободных членов ,

то система линейных уравнений записывается в матричной форме

A× х = b.

Решением системы называется n значений неизвестных подстановка которых в уравнения системы обращаeт их в тождества. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца элементами которого являются значения с ₁, с ₂, …, с _n.

Система уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения. В случае неопределенной системы каждое ее решение называется частным решением. Совокупность всех частных решений системы называется ее общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. В случае совместности системы находится ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что пре­образования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым.