Векторное произведение двух векторов,

его свойства и применение

Векторным произведением векторов и (рис. 10) называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) векторы , и в указанном порядке образуют правую тройку векторов, т. е. если смотреть на векторы и с конечной точки вектора , то кратчайший поворот от к будет осуществляться против часовой стрелки.

Обозначается векторное произведение как , или .

Векторное произведение векторов обладает следующими свой­ствами:

1. ;

2. , если или = , или = ;

3. (l )´ = ´ (l )=l( ´ );

4. ´ ( + ) = ´ + ´ .

В частности, векторное произведение единичных векторов , образующих прямоугольный базис, определяется по следующей схеме (рис. 11): векторное произведение совпадающих сомножителей равно нулю; векторное произведение несовпадающих сомножителей равно третьему не задействованному в произведении орту, взятому с положительным знаком, если направление кратчайшего поворота от первого сомножителя до второго осуществляется против направлением часовой стрелки, и со знаком минус в противном случае.

´				Рис. 11

В координатной форме векторное произведение векторов и равно:

´ = .

Применение векторного произведения векторов.

1. Проверка векторов на коллинеарность. Если , то и наоборот.

Пример 1. Проверить векторы и на коллинеарность.

Решение. Запишем векторы в координатной форме (2; 5; 1), (1; 2; –3) и найдем их векторное произведение:

.

Так как , то эти векторы не коллинеарны.

2. Нахождение площадей параллелограмма и треугольника. Согласно определению векторного произведения векторов и модуль этого произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

,

а значит площадь соответствующего треугольника будет равна

.

Пример 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение. Площадь параллелограмма определяется по формуле

. Найдем .

Тогда (ед.²).

Пример 3. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3), С(0; 1; 0).

Решение. Найдем координаты векторов и :

или

или .

Тогда

а его модуль равен

Следовательно, площадь треугольника равна (ед.²).

3. Определение момента силы относительно точки.

Пусть в точке А приложена сила и пусть А – некоторая точка пространства (рис. 12).

Из физики известно, что моментом силы относительно точки А называется вектор , который проходит через точку А численно равен произведению силы на плечо

;

и образует правую тройку векторов с векторами и .

Из вышесказанного можно сделать вывод, что

.

Пример 4. Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке .

Решение. Определим координаты вектора , Момент силы относительно точки А найдем как

, .

Тогда величина момента силы равна модулю вектора .