Его свойства и применение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 7):

Из рис. 7 видно, что . Поэтому или .

Скалярное произведение векторов обладает следующими свой­ствами:

1. – переместительный закон;

2. – распределительный закон;

3. Если векторы и коллинеарны (), то ;

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора .

В частности, скалярное произведение единичных векторов (ортов) удовлетворяет равенствам (рис. 8):

В координатной форме скалярное произведение векторов и равно

.

Пример 1. Найти длину вектора , если , , .

Решение. Воспользуемся пятым свойством скалярного про­изведения векторов:

.

Применение скалярного произведения векторов.

1. Нахождение угла между векторами и :

.

Пример 2. Даны вершины треугольника , и . Найти внутренний угол при вершине С.

Решение. Для нахождения угла найдем координаты векторов и : ;

.

Тогда

. Таким образом, .

Пример 3. Найти проекцию вектора на ось , составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение. Определим на оси орт и найдем его координаты. Для этого воспользуемся тождеством . Так как лежит на оси , то он образует с осями координат равные острые углы. Таким образом, Ð a=Ð b=Ð g. Тогда тождество примет вид: , или . Это означает, что орт оси имеет координаты .

Найдем косинус угла между ортом и вектором :

.

Тогда проекция вектора на ось будет равна

.

2. Нахождение проекции вектора на вектор. Пусть векторы заданы в координатной форме: и . Тогда проекции определяются формулами:

;

.

Пример 4. Найти проекцию вектора на вектор .

Решение.

.

3. Проверка векторов на ортогональность. Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда

.

Пример 5. Даны вершины четырехугольника , , , . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. Найдем координаты векторов, определяющих диаго­нали четырехугольника , или ;

, или . Проверим ортогональ­ность этих векторов:

.

Это означает, что диагонали данного четырехугольника взаимно перпендикулярны.

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора перемещения на вектор силы.

Пример 6. Вычислить работу, произведенную силой , если она имеет координаты а точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения А(2; 4; 6) в положение В(4; 2; 7). Под каким углом к направлена сила ?

Решение. Найдем перемещение материальной точки . , или . Тогда

(ед. работы). Угол jмежду и найдем по формуле