Операции над векторами в координатах

Пусть заданы векторы и в прямоугольной системе координат.Линейные операции над ними выполняются по следующим формулам:

.

Пример 1. Даны два вектора и . Найти координаты и длину вектора .

Решение. ; ; ; .

Пример 2. Дан вектор , образующий с осью угол , и вектор , образующий с той же осью угол . Найти проекцию суммы , где , на ось , если известно, что , .

Решение. Так как проекция суммы векторов равна сумме их про­екций, необходимо найти проекцию каждого слагаемого на ось .

;

;

.

Тогда 11.

Понятие радиус-вектора точки. Координаты и длина вектора, заданного граничными точками.

Найдем координаты вектора , если известны координаты начальной и конечной точек (рис. 4).

Нетрудно заметить, что . Тогда согласно введенным для векторов операциям имеем

.

Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов , , , которые равны:

где .

Пример 3. Найти координаты вектора и его длину, если , .

Решение. Найдем координаты вектора :

.

Тогда длина вектора будет равна

.

Пример 4. Найти направляющие косинусы вектора , если , .

Решение. Найдем координаты вектора :

Тогда его длина и направляющие косинусы будут соответственно равны:

,

Условия коллинеарности и равенства векторов, заданных в координатах.

Пусть задан ненулевой вектор Тогда любой коллинеарный с ним вектор будет отличаться от него на постоянный множитель, т. е. , где Следовательно, у коллинеарных векторов и координаты пропорциональны:

,

причем, если: 1) l> 0, то и сонаправлены;

2) l< 0, то и имеют противоположные направления;

3) 0< ½ l½ < 1, то короче вектора в l раз;

4) ½ l½ > 1, то длиннее вектора в l раз.

Условием равенства двух векторов является

.

Это означает, что координаты равных векторов совпадают.

Пример 5. Определить, при каких значениях параметров и векторы и коллинеарны. Как направлены эти векторы и как соотносятся их длины?

Решение. Из коллинеарности векторов и будет следовать пропорциональность их соответствующих координат . В нашем случае эти пропорции будут выглядеть следующим образом:

.

Вторая пропорция полностью определена, откуда . Следовательно, , откуда a = 4. С другой стороны , тогда b = –1.

Так как , то векторы и имеют противоположные направления и вектор в два раза короче вектора .

Решение. Заметим, что вектор равен вектору , а значит координаты этих векторов равны. Найдем координаты этих векторов: , . Тогда или ; или ; или . Таким образом, точка D имеет координаты .