Измерение тесноты корреляционной связи двух количественных признаков

Для измерения тесноты (силы) связи двух количественных показателей могут применяться следующие показатели.

1) линейный коэффициент корреляции Пирсона

. (8.1)

Он принимает значения в интервале от –1 до +1. Если величины Y и X независимы, то коэффициент корреляции r_xy =0. Положительные значения r_xy указывают на прямую связь, отрицательные – на обратную. Если r_xy =±1, то Y и X связаны линейной функциональной зависимостью Y = a ₀+ a ₁ X.

На рис. 8.1 приведены примеры диаграмм рассеяния пар значений X и Y. Случаи а), б) и в) наглядно демонстрируют, что коэффициент корреляции r_xy позволяет измерить именно линейную корреляционную связь. Напротив, случаи г) и д) показывают, что когда признаки X и Y связаны нелинейно, использование линейного коэффициента корреляции r_xy некорректно.

Для проверки гипотезы о существенности (значимости) коэффициента корреляции можно использовать t -критерий Стьюдента. Для этого рассчитывают значение t -критерия по формуле

(8.2)

Если , то гипотеза о том, что r_xy =0 отвергается при уровне значимости a. Значение t_кр берется из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости a и числе степеней свободы n –2.

Для расчета доверительного интервала оценки коэффициента корреляции можно использовать z -преобразование Р. Фишера

(8.3)

Величина z имеет приблизительно нормальное распределение, поэтому доверительный интервал для z имеет вид [ z – t× s _z, z + t× s _z], где s _z – средняя ошибка величины z.

. (8.4)

Коэффициент доверия t находят из таблицы распределения Стьюдента при заданной доверительной вероятности a и числе степеней свободы ¥. Обратный пересчет z в r _xy производят по формуле

, (8.5)

где tanh(×) – гиперболический тангенс.

Все выше изложенное справедливо, если совместное распределение X и Y является нормальным.

Для качественной характеристики силы связи может использоваться шкала Чэддока (см. п.4.3).

2) Коэффициент детерминации h ² и выборочное корреляционное отношение h.

Для оценки тесноты линейной корреляционной связи служит коэффициент корреляции r_xy. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи можно использовать выборочное корреляционное отношение Y к X

, (8.6)

где – межгрупповая дисперсия признака Y; – внутригрупповая дисперсия; – общая дисперсия (см. п.4.3).

, , , .

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение Х к Y

.

Свойства выборочного корреляционного отношения h_yx.

1. 0£ h_yx £ 1.

2. Если h_yx =0, то признак Y с признаком Х корреляционной зависимостью не связан.

3. Если h_yx =1, то признак Y связан с признаком Х функциональной зависимостью.

4. | r_yx |£ h_yx.

5. Если h_yx =| r_yx |, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

3) Коэффициент Фехнера

,

где С – число пар совпадающих знаков разностей () и (); Н – число пар несовпадающих знаков.