Парное уравнение регрессии

Задачи регрессионного анализа:

1. установление вида функции регрессии Y = f (X), описывающей зависимость результативного признака Y от факторного признака X (задача структурной идентификации);

2. оценивание параметров функции регрессии (задача параметрической идентификации);

3. использование полученного уравнения регрессии для прогнозирования значений результативного признака Y при различных значениях фактора X.

Наиболее сложным является решение задачи структурной идентификации регрессионной модели, когда необходимо определить с точностью до параметров математическую функцию, которая лучше других описывает взаимосвязь исследуемых признаков. Выбор типа функции может опираться на теоретические знания об изучаемом явлении, опыт предыдущих аналогичных исследований или осуществляться эмпирически – перебором и оценкой функций разных типов и т.п.

Для описания влияния факторного признака X на результативный признак Y в случае линейной зависимости строится регрессионная модель вида

, i =1, …, n, (8.14)

где n – число наблюдений; a ₀, a ₁ – неизвестные параметры уравнения регрессии; e _i – случайная ошибка i -го наблюдения.

Уравнение однофакторной (парной) линейной регрессии имеет вид:

, (8.15)

где – теоретические значения результативного признака, полученные после подстановки x_i в уравнение регрессии; a ₀, a ₁ – оценки параметров уравнения регрессии.

Оценки параметров уравнения a ₀, a ₁ можно найти с помощью метода наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что оценки параметров a ₀, a ₁ находят, минимизируя сумму квадратов отклонений эмпирических данных y_i от теоретических , рассчитанных по уравнению регрессии

. (8.16)

Для нахождения минимума данной функции ее частные производные приравнивают нулю и получают систему нормальных уравнений:

Отсюда

(8.17)

E Если уравнение парной регрессии имеет более общий вид , где f (×) – некоторая аналитическая функция, то, проведя подстановку , можно свести это уравнение нелинейной регрессии к линейному уравнению.

Коэффициент регрессии a ₁ характеризует влияние, которое оказывает изменение фактора X на результативный признак Y. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится величина результативного признака Y при изменении факторного признака X на единицу.

Для удобства интерпретации коэффициента регрессии a ₁ используют коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов изменится величина результативного признака при изменении факторного признака на 1%:

(8.18)

Для проверки гипотезы о значимости параметров регрессии a ₀, a ₁ можно использовать t -критерий Стьюдента. Для этого рассчитывают значения t -критерия по формулам

(8.19)

Если , то гипотеза о том, что a ₀=0 (a ₁=0) отвергается при уровне значимости a. Значение t_кр берется из таблицы распределения Стьюдента при уровне значимости a и числе степеней свободы n –2.

Для оценки достоверности построенного уравнения регрессии можно использовать коэффициент детерминации , показывающий какая доля общей вариации результативного признака Y обусловлена воздействием факторного признака X. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем лучше уравнение регрессии описывает зависимость Y от X.