Примеры решения задач. Пример 8.1. На основании следующих данных рассчитать: Стоимость основных фондов, млн руб.

Пример 8.1. На основании следующих данных рассчитать:

а) линейный коэффициент корреляции;

б) коэффициент Фехнера;

в) коэффициенты ранговой корреляции Спирмэна и Кендалла.

Проверить значимость линейного коэффициента корреляции при уровне значимости 0, 05. Построить доверительный интервал для линейного коэффициента корреляции при доверительной вероятности 0, 90.

Решение.

1) В таблице приведены промежуточные результата расчета коэффициента корреляции.

№	X	Y
			–19, 2	–93, 9	368, 64	8817, 21	1802, 88
			14, 8	250, 1	219, 04	62550, 01	3701, 48
			2, 8	29, 1	7, 84	846, 81	81, 48
			–42, 2	–307, 9	1780, 84	94802, 41	12993, 38
			35, 8	346, 1	1281, 64	119785, 2	12390, 38
			10, 8	10, 1	116, 64	102, 01	109, 08
			2, 8	–97, 9	7, 84	9584, 41	–274, 12
			–0, 2	115, 1	0, 04	13248, 01	–23, 02
			37, 8	77, 1	1428, 84	5944, 41	2914, 38
			–43, 2	–327, 9	1866, 24	107518, 4	14165, 28
Итого					7077, 6	423198, 9	47861, 2

Средние арифметические: для признака X =572/10=57, 2; для признака Y =4029/10=402, 9.

Согласно шкале Чэддока мы можем говорить о существовании тесной корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2) В таблице приведены промежуточные результата расчета коэффициента Фехнера.

№	X	Y
			–19, 2	–93, 9	–1	–1
			14, 8	250, 1
			2, 8	29, 1
			–42, 2	–307, 9	–1	–1
			35, 8	346, 1
			10, 8	10, 1
			2, 8	–97, 9		–1
			–0, 2	115, 1	–1
			37, 8	77, 1
			–43, 2	–327, 9	–1	–1

Число пар совпадающих знаков разностей () и () С =8.

Число пар несовпадающих знаков разностей () и () Н =2.

3) В таблице приведены промежуточные результаты расчета коэффициентов ранговой корреляции Спирмэна и Кендалла.

В таблице приведены пары (x_i, y_i), проранжированные в порядке возрастания признака X. Затем вместо значений x_i и y_i используются их ранги R_xi и R_yi.

E Так как значение признака X равное 60 встретилось дважды, поэтому каждому из этих значений приписывают ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров объектов, т.е. (5+6)/2=5, 5.

Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмэна равен

4) Для расчета коэффициента ранговой корреляции Кендалла используется только колонка с рангами значений признака Y. Например, sign (R_{y 2}– R_{y 1})= sign (2–1)=1 (ячейка, куда занесено полученное значение, выделена серым цветом). В результате получим

5) Для проверки значимости коэффициента корреляции рассчитаем значение t -критерия Стьюдента

Так как выполняется неравенство (5, 1> t_кр =2, 306), то гипотеза о том, что коэффициент корреляции r_xy =0 отвергается при уровне значимости 0, 05. Табличное значение t_кр =2, 306 было найдено по таблице (см. приложение) при a =1–0, 05=0, 95 (здесь 0, 05 – это заданный уровень значимости) и числе степеней свободы 10–2=8.

6) Для построения доверительного интервала коэффициента корреляции выполним z -преобразование Фишера

Средняя ошибка величины z

Доверительный интервал для z имеет вид [ z – t× s _z; z + t× s _z], Значение t= 1, 6449 находим по таблице в приложении при доверительной вероятности a =0, 90 и числе степеней свободы ¥. Тогда доверительный интервал для z [1, 352–1, 6449 × 0, 378; 1, 352+1, 6449 × 0, 378] или [0, 7303; 1, 974].

Выполнив обратное z-преобразование r_xy =tanh(z), получим доверительный интервал для коэффициента корреляции r_xy: [tanh(0, 7303); tanh(1, 974)] или [0, 6232; 0, 9621].

Пример 8.2. Рассчитайте коэффициент ассоциации Юла-Кендэла и коэффициент контингенции Пирсона между показателями доходов родителей и их детей.

Решение.

Коэффициент ассоциации

Коэффициент контингенции

Таким образом, между доходами родителей и их детей имеется существенная связь.

Пример 8.3. Респонденты в ходе опроса давали ответ на два вопроса. Оцените взаимосвязь полученных ответов на вопросы анкеты.

Решение. На основе приведенной таблицы распределения определим: K ₁=2, K ₂=3 – число возможных ответов на первый и второй вопросы соответственно; m_i, n_j – итоговые частоты соответствующего столбца и строки.

Отсюда показатель взаимной сопряженности j ²

.

Тогда коэффициент взаимной сопряженности Пирсона

.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова

Таким образом, в соответствии со шкалой Чэддока можно говорить о существовании заметной связи между ответами респондентов на вопросы.

Пример 8.4. На основании данных примера 8.1: 1) оцените параметры уравнения парной регрессии; 2) оцените достоверность уравнения регрессии с помощью коэффициента детерминации; 3) проверьте гипотезы о значимости параметров уравнения парной регрессии при уровне значимости 0, 05; 4) постройте диаграмму рассеяния и линию уравнения парной регрессии; 5) рассчитайте коэффициент эластичности.

Решение.

1) Для оценки параметра a ₀ найдем среднеквадратическое отклонение признаков X и Y.

Тогда оценки параметров уравнения регрессии

2) Коэффициент детерминации . Таким образом, различия в объемах производства продукции на 76, 48% определяются величиной основных фондов предприятия, а на 23, 52% – влиянием прочих факторов.

3) Для проверки гипотезы о значимости параметров уравнения парной регрессии рассчитаем значения t -критерия

Табличное значение t_кр =2, 306 при уровне значимости 0, 05 и числе степеней свободы 10–2=8 (см. таблицу распределения Стьюдента в приложении для a =1–0, 05=0, 95). Так как неравенство не выполняется, то мы не можем отвергнуть гипотезу о том, что параметр a ₀=0. Неравенство же выполняется, поэтому мы отвергаем гипотезу, что параметр a ₁=0. Таким образом, можно сделать вывод, что в данной регрессионной модели значим только параметр a ₁, и уравнение регрессии должно иметь вид .

4) На рис. 8.3 приведена диаграмма рассеяния для признаков X и Y. На диаграмме рассеяния проведена линия уравнения парной регрессии и указано значение коэффициента детерминации.

Рис. 8.3. Диаграмма рассеяния

5) Коэффициент эластичности равен Таким образом, при увеличении стоимости основных фондов на 1% производство продукции в среднем возрастает на 0, 96%.