Произведение событий. Теорема умножения

Произведением двух или нескольких событий называют сложное событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Пусть С — сложное событие, состоящее в совместном появлении событий _. В этом случае пишут

или .

Теорема. Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

.

Вероятности независимых событий называют безусловными. Зависимые события имеют условные вероятности.

Условной называют вероятность, вычисленную в предположении, что одно или несколько событий уже произошли. Например: — условная вероятность события А ₂, вычисленная в предположении, что произошло событие А ₁; — условная вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что произошли события .

Условие независимости события А ₂ от события А ₁ записывают в виде , а условие зависимости — в виде .

Теорема. Вероятность произведения двух или нескольких зависимых событий равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, т.е.

.

Задача 1.4. В ящике имеется 25 белых и 36 чёрных шаров.Определить вероятность последовательного появления двух белых шаров при условии, что первый извлечённый шар обратно не возвращается.

Решение. Обозначим события: А ₁ — появление первого белого шара; А ₂ — появление второго белого шара; С — появление двух белых шаров. Поскольку вероятность события А ₂ зависит от того, наступило или не наступило событие А ₁, события А ₁ и А ₂ — зависимые. Применяем теорему умножения вероятностей для зависимых событий, получим

.

Найдём вероятность события А ₁:

.

Найдём условную вероятность события А ₂при условии, что событие А ₁ наступило:

.

Искомая вероятность равна:

.