График эмпирической функции распределения

5) Мода - значение признака с наибольшей частотой;

Медиана значение признака, расположенного в середине ряда распределения. Мода и медиана являются структурными (распределительными) средними.

Для определения моды сначала находят интервал с наибольшей частотой = 8. В этом интервале число правильных ответов 32-36. Точное значение моды находят путем интерполяции по формуле

Где h - шаг интервала, - частота предмодального интервала, - частота постмодального интервала.

= 4=34

Значение медианы также определяем путем интерполяции по формуле

.

- накопленные частоты интервалов, предшествующих меданному.

- локальная частота интервала, в котором находятся единицы совокупности, делящие ряд пополам, медианного интервала.

, следовательно медианным является интервал с накопленной частотой 20, его частота составляет =10, =17.

4=33, 5

Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты до четвертого порядка включительно.

Составляем таблицу:

Таблица 1.

		-4	-4		-64
		-3	-12		-108
		-2	-12		-48
		-1	-6		-6
	n=40		= -2	=170

В качестве ложного нуля принимаем С= 34– варианта с наибольшей частотой 10 и находящаяся в середине вариационного ряда. Шаг выборки h=4. Тогда условные варианты определяются по формуле

.

Подсчитываем все варианты и заполняем все столбцы.

Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству:

= + 4 + 6 n= +4 +6 170 +4 +40= .

Вычисления произведены верно. Найдем условные начальные моменты.

. = 4, 25.

- условные начальные моменты к- го порядка

Вычисляем выборочную среднюю:

= 3, 8.

Находим выборочную дисперсию:

= = 4, 2475 = 67, 96.

Определяем выборочное среднее квадратическое отклонение:

= = =8, 2437.

= . = центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков.

Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом вычисляются по формулам:

Ассиметрия и эксцесс определяются равенствами: ,

,

,

. = 4, 25.

= =2, 08725 = 133, 584

= =42, 4 = 10855, 3552

Коэффициент вариации находим по формуле:

· 100%. · 100% =24, 39 %.

6. Строим нормальную кривую.

Для облегчения вычислений все расчеты сводим в таблицу 2

Таблица 2.

		=			= 19, 4
		-15, 8	-1, 91654	0, 0644	1, 24936
		-11, 8	-1, 43134	0, 1435	2, 7839
		-7, 8	-0, 94614	0, 2565	4, 9761
		-3, 8	-0, 46094	0, 3589	6, 96266
		0, 2	0, 02426	0, 3989	7, 73866
		4, 2	0, 50946	0, 3521	6, 83074
		8, 2	0, 99466	0, 2444	4, 74136 5
		12, 2	1, 47986	0, 1334	2, 58796
		16, 2	1, 96506	0, 058	1, 1252
	n=40				n=40

Заполняем первые три столбца.

В четвертом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значения функции
= .

Функция четная, т.е. .Значения функции в зависимости от аргумента (берутся положительные , т.к. четная) находим из таблицы.

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле

=n ,

где - вероятность попадания Х в i-частичный интервал с концами
и .

Приближенно вероятности могут быть найдены по формуле .

Тогда теоретические частоты равны равны

=n = = 19, 4 .

Заполняем последний столбец. В последнем столбце частоты округляются до целого числа и = =40.

В системе координат () строим нормальную (теоретическую кривую)кривую по выравнивающим частотам и полигон наблюдаемых частот . Полигон наблюдаемых частот построен в системе координат ().

7. Проверяем гипотезу о нормальности Х при уровне значимости =0, 05.

В качестве статистики выбирают СВ :

= .

Она подчиняется распределению с числом степеней свободы , где s - число различных значений ; - число параметров, откоторых зависит распределение. Для нормального закона таких параметров два: a= и , т.е. , и . По данному уровню значимости и числу степеней свободы в таблице распределения находят критическое значение и находят критическую область: , = . Затем вычисляем наблюдаемое значение , т.е. по формуле

.

Если окажется, что , то нулевую гипотезу о том, что Х имеет нормальное распределение, принимают. В этом случае опытные данные хорошо согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 3.

Таблица 3

				0, 333333		5, 333333
				0, 2		7, 2
		-1		0, 142857		5, 142857
		-1		0, 142857		5, 142857
		-1		0, 2		3, 2
		-1		0, 333333		1, 333333
	n=40			= 5, 352381		45, 35238

Суммируя числа пятого столбца, получаем = 5, 352381

Суммируя числа последнего столбца, получаем 45, 35238

Контроль: =5, 352381

- = 45, 35238-40=5, 352381

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 9, =9-3=6.

По таблице критических точек распределения , по уровню значимости и числу степеней свободы 6 находим .

Так как , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

8. Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания, полагая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение = 8, 2437и доверительную вероятность .

Известен объем выборки: n=40, выборочная средняя 3, 8.

Из соотношения 2 получим 0, 475. По таблице находим параметр t=1, 96.

Найдем точность оценки

= 2, 55

Доверительный интервал таков:

< или < или < .

Надежность указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95 % из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен.

Интервальная оценка для среднего квадратического отклонения:

. находим по таблице по заданным n и .

= 0, 24

Тема 2

Статистическое исследование зависимостей (корреляционно- регрессионный анализ)

Рассмотрим выборку двумерной случайной величины (Х, Y). Примем в качестве оценок условных математических ожиданий компонент их условные средние значения, а именно: условным средним назовем среднее арифметическое наблюдавшихся значений Y, соответствующих Х = х. Аналогично условное среднее - среднее арифметическое наблюдавшихся значений Х, соответствующих Y = y. Уравнения регрессии Y на Х и Х на Y

имеют вид:

= f* (x) -

- выборочное уравнение регрессии Y на Х,

= φ * (у) -

- выборочное уравнение регрессии Х на Y.

Соответственно функции f* (x) и φ * (у) называются выборочной регрессией Y на Х и Х на Y, а их графики – выборочными линиями регрессии. Выясним, как определять параметры выборочных уравнений регрессии, если сам вид этих уравнений известен.

Пусть изучается двумерная случайная величина (Х, Y), и получена выборка из п пар чисел (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂), …, (х_п, у_п). Будем искать параметры прямой линии регрессии Y на Х вида

Y = ρ _yxx + b,

подбирая параметры ρ _ух и b так, чтобы точки на плоскости с координатами (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂), …, (х_п, у_п) лежали как можно ближе к прямой. Используем для этого метод наименьших квадратов и найдем минимум функции

.

Приравняем нулю соответствующие частные производные:

.

В результате получим систему двух линейных уравнений относительно ρ и b:

Ее решение позволяет найти искомые параметры в виде:

.

При этом предполагалось, что все значения Х и Y наблюдались по одному разу.

Теперь рассмотрим случай, когда имеется достаточно большая выборка (не менее 50 значений), и данные сгруппированы в виде корреляционной таблицы:

Здесь n_ij – число появлений в выборке пары чисел (x_i, y_j).

Поскольку , заменим в системе (10.3)

, где п_ху – число появлений пары чисел (х, у). Тогда система примет вид:

Можно решить эту систему и найти параметры ρ _ух и b, определяющие выборочное уравнение прямой линии регрессии:

.

Но чаще уравнение регрессии записывают в ином виде, вводя выборочный коэффициент корреляции. Выразим b из второго уравнения системы:

.

Подставим это выражение в уравнение регрессии:

.

,

где

Введем понятие выборочного коэффициента корреляции

и умножим равенство на : , откуда .

Используя это соотношение, получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида

.