Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение

В теории вероятностей для характеристики основных свойств распределения часто применяют моменты.

Начальным моментом k‑ гопорядка случайной величины Х называют математическое ожидание k ‑ й степени этой случайной величины

.

Для дискретной случайной величины начальные моменты k- го порядка вычисляют по формуле

,

для непрерывной величины — по формуле

.

При имеем , т.е. приходим к основной характеристике положения: математическому ожиданию случайной величины Х.

Центральным моментомпорядка k случайной величины Х называют математическое ожидание k ‑ й степени соответствующей центрированной случайной величины

,

Центральные моменты дискретной случайной величины вычисляют по формуле

,

для непрерывной величины — по формуле

,

Особое значение имеет центральный момент второго порядка, называемый дисперсией. Применяют обозначения: и .

,

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины относительно математического ожидания (центра распределения).

Свойства дисперсии:

а) ;

б) ;

в) , если — независимые случайные величины.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться средним квадратическим отклонением (СКО, положительной величиной корня квадратного из дисперсии):

.

Задача 2.4. Случайная величина Х задана рядом распределения:

Найти её основные параметры: , , .

Решение: применяя формулы, и, имеем

;

Дисперсию можно найти и по формуле связи центральных и начальных моментов:

:

;

; .

Находим СКО: .

Задача 2.5. Найти основные параметры непрерывной случайной величины Х, закон распределения которой задан в условии задачи 2.3.

Решение: находим

.

; .

; , тогда .