Система линейных однородных уравнений и ее решения. Условие существования ненулевых решений такой системы.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю.

Для того, чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений, если любое другое решение является линейной комбинацией решений

Теорема. Если ранг r матрицы системы однородных уравнений меньше числа неизвестных n, то эта система имеет фундаментальную систему решений, которая состоит из n – r линейно независимых решений исходной системы.

Общее решение однородной системы уравнений имеет вид:

(10)

где — произвольные числа.

Решение системы, полученное из общего при фиксированных значениях , называется частным.

Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические векторы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

Вектором называют направленный отрезок, т.е. отрезок определенной длины и определенного направления. Вектором также называют упорядоченную пару точек.

Два вектора коллинеарны (параллельны), если они лежат на одной или на параллельных прямых. Обозначают . Среди коллинеарных векторов различают сонаправленные (обозначают ) и противоположно направленными(обозначают ).

Векторы компланарные, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.

Суммой двух векторов и называют такой третий вектор, начало которого совпадает с началом, а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).

Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.

2.

3. , если , , если .

Свойства умножения вектора на число:

1.

2.

3.

4.

5.

6.